DGL 2. Ordnung AWP

12.09.2014, 11:30

Xbf

DGL 2. Ordnung AWP

Hallo,
ich möchte folgende Aufgabe lösen:

$\begin{eqnarray*} y''(t)+4y'(t)+20y(t)=20\sigma(t-T) \end{eqnarray*}$

Die Anregungsfunktion/Störglied ist eine um T verschobene Sprungfunktion. Anfangswerte: $\begin{eqnarray*} y(T)=y'(T)=0 \end{eqnarray*}$

Erst einmal möchte ich die DGL ganz normal im Zeitbereich lösen, später mit Laplace-Transformation.
Für die erste Methode fehlt mir aber der Lösungsansatz des Störglieds. Für $\begin{eqnarray*} \sigma(t) \end{eqnarray*}$ wäre es eine Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Aber ich weiß nicht, wie ich das mache, wenn es verschoben ist.
Würde mich über Hilfe freuen.
Viele Grüße
Xbf

13.09.2014, 11:20

grosserloewe

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RE: DGL 2. Ordnung AWP
smile

Also mit Laplace Transformation nimmst Du Dir eine Tabelle und erhälst :

$\begin{eqnarray*} 20 *e^{-sT} \end{eqnarray*}$

13.09.2014, 12:03

HAL 9000

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@Xbf

Wenn dir das eher liegt, dann verschieb doch einfach die ganze Angelegenheit: Betrachte statt $\begin{align*} y \end{align*}$ zunächst die verschobene Funktion $\begin{align*} z(t)=y(t+T) \end{align*}$ , die muss dann der DGL

$\begin{align*} z''(t) + 4z'(t) + 20z(t) = 20\sigma(t) \end{align*}$ mit Anfangswerten $\begin{align*} z(0)=z'(0)=0 \end{align*}$

genügen.

13.09.2014, 17:04

Xbf

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Jo danke grosserloewe, dazu komme ich später smile

@HAL 9000

$\begin{eqnarray*} z''(t) + 4z'(t) + 20z(t) = 20\sigma(t) \end{eqnarray*}$ mit Anfangswerten $\begin{eqnarray*} z(0)=z'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Das gelöst ist dann: $\begin{eqnarray*} z(t)=\left(-\frac{1}{2}e^{-2t}sin(4t)-e^{-2t}cos(4t)+1\right )\sigma(t) \end{eqnarray*}$

Dann nur noch das $\begin{eqnarray*} z(t)=y(t+T) \end{eqnarray*}$ ersetzen und fertig.

Mit $\begin{eqnarray*} z(t)=y(t+T) \Rightarrow z(t-T)=y(t)=\left ( -\frac{1}{2}e^{-2t+2T}sin(4t-4T)-e^{-2t+2T}cos(4t-4T)+1\right ) \sigma(t-T) \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du auf die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} z(0)=z'(0)=0 \end{eqnarray*}$ ?
Aber ohne die Verschiebung könnte ich es noch immer nicht rechnen.
Ohne Verschiebung bei z(t) war es ja $\begin{eqnarray*} z_p=A=1 \end{eqnarray*}$ . Wie wäre denn dann der Ansatz für die partikuläre Lösung mit Verschiebung? Vielen Dank für die Hilfe.

Viele Grüße
Xbf

13.09.2014, 18:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Xbf
Wie kommst du auf die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} z(0)=z'(0)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Ja wie wohl?

$\begin{align*} z(t)=y(t+T) \end{align*}$ und dessen Ableitung $\begin{align*} z'(t)=y'(t+T) \end{align*}$ gelten ja speziell auch für $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ , d.h.

$\begin{align*} z(0)=y(0+T)=y(T) \end{align*}$ und $\begin{align*} z'(0)=y'(0+T)=y'(T) \end{align*}$ ,

und das sind ja die gegebenen Anfangswerte deiner Original-DGL.

13.09.2014, 19:01

Xbf

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Ohh, ja klar!
Hast du auch eine Idee, wie man das ohne vorherige Verschiebung rechnen kann?
Dafür fehlt mir der Ansatz für die partikuläre Lösung.

14.09.2014, 00:22

Xbf

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Man muss es wohl immer verschieben, macht irgendwie auch Sinn.

Nun soll ich die Übertragungsfunktion von der obigen DGL im Laplacebereich angeben.
Da ich nur die verschobenen Anfangswerte gegeben habe, muss ich im Bildbereich wieder alles um T verschieben.
Da die Übertragungsfunktion so definiert ist: $\begin{align*} H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} \end{align*}$ , brauche ich ein x(t) bzw. X(s), da habe ich $\begin{align*} x(t-T)=\sigma(t-T) \end{align*}$ genommen. Bei dieser Wahl bin ich mir aber sehr unsicher.

Dann habe ich transformiert: $\begin{align*} s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+4\left (sY(s)-y(0)\right )+20Y(s)=20e^{-sT}X(s) \end{align*}$

Alles um T verschoben und Anfangswerte eingesetzt: $\begin{align*} (s+T)^2Y(s+T)+4(s+T)Y(s+T)+20Y(s+T)=20e^{-(s+T)T}X(s+T) \end{align*}$

Das umgeformt nach $\begin{align*} \frac{Y(s+T)}{X(s+T)}=\frac{20e^{-(s+T)T}}{(s+T)^2+4(s+T)+20} \end{align*}$

Daraus folgt: $\begin{align*} H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{20e^{-sT}}{s^2+4s+20} \end{align*}$

Könnte das eventuell richtig sein? Bin über jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Xbf

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