Warum ist dieses Gleichungssystem über Z nicht lösbar? (Zahlentheorie)

12.09.2014, 13:51

gast1234567

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Warum ist dieses Gleichungssystem über Z nicht lösbar? (Zahlentheorie)

Meine Frage:
Hallo.
Dass es so ist, weiß ich. Aber nicht warum.

Warum ist das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} a^{2} +b^{2} =c^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2} -b^{2} =d^{2} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in Z \end{eqnarray*}$

nicht lösbar?

Danke schon mal!

Meine Ideen:
Leider keine, die mit denen ich nicht im Kreis laufe. unglücklich

unglücklich

12.09.2014, 14:07

Captain Kirk

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Hallo,

woher weißt du denn es keine Lösungen gibt?

Ich sehe direkt eine Lösung in den ganzen Zahlen a=b=c=d=0.

12.09.2014, 14:13

m0v3m4zt3r

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Vielleicht ist die Null ausgeschlossen, aber das Skript sagt, was im Anhang steht.

Nur komme ich nicht darauf, warum dies gelten soll.

12.09.2014, 14:18

gast1234567

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Um Verwirrung zu vermeiden: Der Beitrag über mir (m0v3m4zt3r) stammt von mir (dem TE).

12.09.2014, 14:21

Captain Kirk

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0 ist eine ganze Zahl.
So wie es dasteht ist die Aussage schlicht und ergreifend falsch, ein Gegenbeispiel hab ich genannt - es gäb noch unendlich viele weitere.

Moral von der Geschicht:
Auch in Skripten steht Falsches (kommt sogar ziemlich oft vor.)

12.09.2014, 14:48

Guppi12

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Aus Interesse: Ist dir eine weitere Lösung bekannt? Oder kann man das irgendwie zeigen, dass es weitere Lösungen gibt?

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12.09.2014, 14:59

gast1234567

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Zitat:

Original von Guppi12
Aus Interesse: Ist dir eine weitere Lösung bekannt? Oder kann man das irgendwie zeigen, dass es weitere Lösungen gibt?

Da fällt mir leider auch keine ein. Habe schon einiges ausprobiert und mir fällt auch kein Ansatz ein, eine solche Lösung zu ermitteln.

12.09.2014, 15:06

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} x=\pm y, w=0 \end{eqnarray*}$ für pyth. Tripel (x,y,z) von denen es bekanntlich unendlich viele gibt.
Ob es nicht-triviale Lösungen gibt wär 'ne andere Frage.

12.09.2014, 15:10

Guppi12

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Es gibt aber kein nichttriviales pythagoräisches Tripel (x,y,z) mit x = y oder x = -y.

12.09.2014, 15:12

gast1234567

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Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} x=\pm y, w=0 \end{eqnarray*}$ für pyth. Tripel (x,y,z) von denen es bekanntlich unendlich viele gibt.
Ob es nicht-triviale Lösungen gibt wär 'ne andere Frage.

Aus dieser Lösung würde dann doch für die erste Zeile folgen:
$\begin{eqnarray*} 2y^2 = z^2 \end{eqnarray*}$

was doch über Z nicht lösbar ist.

12.09.2014, 15:13

Captain Kirk

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Du hast du Recht.

Damit Moral II:
Auch nicht das glauben was irgendwer im Internet schreibt.

12.09.2014, 15:13

tmo

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Ich nehme an er meint die unendlich vielen Lösungen b=0, a=c=d beliebig.

Wenn man jedoch lediglich $\begin{align*} b \neq 0 \end{align*}$ fordert, so sind zwangsweise alle anderen auch nicht 0 und dann gibt es tatsächlich keine Lösung.

12.09.2014, 15:17

Guppi12

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Ach ja, manchmal ist man blind :P Danke.

Gut, dann überlege ich mal weiter an einem Beweis.

12.09.2014, 15:17

gast1234567

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Zitat:

Original von tmo
Ich nehme an er meint die unendlich vielen Lösungen b=0, a=c=d beliebig.

Wenn man jedoch lediglich $\begin{align*} b \neq 0 \end{align*}$ fordert, so sind zwangsweise alle anderen auch nicht 0 und dann gibt es tatsächlich keine Lösung.

Wie könnte man diese Behauptung denn beweisen?

12.09.2014, 15:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} x=\pm y, w=0 \end{eqnarray*}$ für pyth. Tripel (x,y,z) von denen es bekanntlich unendlich viele gibt.

Es geht doch um (3),(4), oder? Erstaunt1

Erstaunt1

Im Fall $\begin{align*} x=\pm y \end{align*}$ ist dann in (3) $\begin{align*} x^2+y^2=2x^2 \neq z^2 \end{align*}$ außer im Trivialfall $\begin{align*} x=z=0 \end{align*}$ . verwirrt

verwirrt

Ich sehe eher die Triviallösungen $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} |x|=|z|=|w| \end{align*}$ .

Bleibt die Frage, ob es Lösungen mit $\begin{align*} y\neq 0 \end{align*}$ gibt.

12.09.2014, 15:25

tmo

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Über die Klassifikation der pythagoräischen Zahlentripel geht es recht schnell.

12.09.2014, 15:48

gast1234567

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Zitat:

Original von tmo
Über die Klassifikation der pythagoräischen Zahlentripel geht es recht schnell.

Habe mal was versucht, komme aber nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} <br /> (a^2-b^2)^2-(2ab)^2=z^2<br /> a^4-6a^2b^2+b^4=z^2<br /> (ab)^2\cdot (\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{a^2} -6)=z^2<br /> ab\cdot \sqrt{\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{a^2} -6}=z<br /> \end{eqnarray*}$

Wobei zu widerlegen ist, dass z eine ganze Zahl ist.
Also müsste zu zeigen sein, dass die Wurzel irrational ist.
Leider weiß ich nicht, ob das eine Sackgasse ist..

13.09.2014, 09:52

tmo

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Versuch mal eher so anzusetzen:

Du solltest ausnutzen, dass du hier 2 Tripel hast. $\begin{align*} a^2+b^2=c^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} a^2=b^2+d^2 \end{align*}$ .

Zunächst zeigst du, dass o.B.d.A beide Tripel teilerfremd sind (Das ist a priori unklar, aber leicht zu zeigen). Danach solltest du zeigen, dass $\begin{align*} b \end{align*}$ gerade sein muss. Und danach dann erst die Klassifikation benutzen, und zwar für beide Tripel.

13.09.2014, 18:14

gast1234567

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Okay. Also gehen wir von primitiven pythagoräischen Zahlentripeln aus?

Nach Definition von primitiven pythagoräischen Zahlentripeln:
Da ggT(a,b,c)=1 und c ungerade, muss a oder b gerade sein.
Da ggT(b,d,a)=1 und a ungerade ist, muss b oder d gerade sein.

Fasst man diese beiden Aussagen zusammen, kann man sagen:
a und c sind ungerade, also muss im Tripel (a,b,c) b gerade sein.

$\begin{eqnarray*} <br /> a^2+b^2=c^2<br /> b^2+d^2=a^2<br /> <br /> 2b^2+d^2=c^2<br /> <br /> b=2xy<br /> d=x^2-y^2<br /> c=x^2+y^2<br /> <br /> 2b^2+d^2=c^2<br /> 8(xy)^2+x^4-2(xy)^2+y^4=x^4+2(xy)^2+y^4<br /> <br /> 4(xy)^2=0<br /> 2xy=b=0<br /> \end{eqnarray*}$

Scheint wohl der Widerspruch zu sein, den wir gesucht haben.

Wieso gehen wir denn nur von primitiven pythagoräischen Zahlentripeln aus? (Wenn das so richtig war)

15.09.2014, 08:28

tmo

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Erstmal zur Teilerfremdheit:

Das kannst du auch selbst nachvollziehen. Nehme doch einfach mal an, das erste Tripel hätte einen gemeinsamen (Prim)Teiler. Wie sieht es dann mit dem zweiten Tripel aus?

Dann zu einer Rechnung: Da passt aber etwas nicht. Du benutzt die Klassifikation für das Tripel $\begin{align*} (b,d,c) \end{align*}$ . Das gibt es aber nirgends. verwirrt

verwirrt

Dein "Widerspruch" kommt folgendermaßen zustande: Du hast die Gleichung $\begin{align*} 2b^2+d^2=c^2 \end{align*}$ und tust dann aber so, als wäre es die Gleichung $\begin{align*} b^2+d^2=c^2 \end{align*}$ .

Dass im Zusammenspiel dieser beiden Gleichungen dann $\begin{align*} b = 0 \end{align*}$ rauskommt, verwundert wenig, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2014, 16:12

gast1234567

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Dann verstehe ich es einfach nicht, wie der Beweis ablaufen soll.

Wenn man die Tripel zusammen führt, kommt man auf

$\begin{eqnarray*} 2b^2+d^2=c^2 \end{eqnarray*}$

d^2 muss hier also ungerade sein, also x^2-y^2.
Damit das Tripel der Klassifikation entspricht, müsste:

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{2}xy \end{eqnarray*}$

Damit wäre b entweder 0 (Wenn x=0 oder y=0) oder eben irrational und somit keine ganze Zahl?

Ansonsten habe ich einfach keine Ideen mehr. (Schande über mich, denn scheinbar ist dieser Beweis trivial. unglücklich

unglücklich

)
Kannst du das möglicherweise einfach mal auflösen, da ich wirklich keine Idee mehr habe?

Danke schon einmal.

15.09.2014, 17:03

tmo

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Du willst einfach direkt $\begin{align*} d=x^2-y^2, c = x^2+y^2 \end{align*}$ folgern, das geht aber natürlich nicht, weil du doch nirgends ein Tripel hast, indem sowohl d als auch c vorkommen.

Du musst einfach mal ALLE Informationen verwenden.

Wir haben das Tripel $\begin{align*} a^2+b^2=c^2 \end{align*}$ mit b gerade. Dies liefert uns $\begin{align*} a = x^2-y^2, b = 2xy, c = x^2+y^2 \end{align*}$ .

Dann haben wir das Tripel $\begin{align*} d^2+b^2=a^2 \end{align*}$ mit b gerade. Dies liefert uns $\begin{align*} d = u^2-v^2, b = 2uv, a = u^2+v^2 \end{align*}$ .

Zusammen haben wir $\begin{align*} 2uv=b=2xy \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x^2-y^2 = u^2+v^2 \end{align*}$ mit natürlichen Zahlen $\begin{align*} u,v,x,y \end{align*}$ . Bis jetzt habe ich ja eigentlich noch nichts gemacht, außer alle Informationen zusammengetragen. Das hättest du auch tun können. Und jetzt geht es erst los, du kannst diese beiden Gleichungen zu einem Widerspruch bzw. zu $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ führen.

15.09.2014, 23:01

gast1234567

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Ich bekomme es einfach nicht hin, aus einem Gleichungssystem mit zwei Zeilen und vier Variablen eine Folgerung zu ziehen, dass b=0 sein soll.

$\begin{eqnarray*} x^2-y^2=u^2+v^2<br /> 2xy=2uv=b \end{eqnarray*}$

Wie soll das gehen? Ich habe alle mir möglichen Operationen mit diesem Gleichungssystem durchgeführt (addiert, binomische Formeln aufgelöst, Brüche erweitert etc etc etc) und drehe mich einfach nur im Kreis..

b wird natürlich 0, wenn x,y,u oder v 0 wird (bzw. mehrere).

Aber ich habe einfach keine Ahnung (auch wenn Mathematiker sich schon vor 5 Posts die Hände über dem Kopf zusammengeschlagen hätten), hätte aber liebend gerne einen Beweis, da mich genau dieser Beweis seit mehreren Tagen beschäftigt und ich langsam daran verzweifle..

16.09.2014, 08:08

tmo

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Bis jetzt hat glaube ich niemand behauptet, dass die Sache einfach wäre (Zumindest ab hier). Deswegen wollte ich ja, dass du bis dort hin etwas mehr Arbeit leistest.

Es könnte jetzt so weitergehen (Für einfachere Vorschläge bin ich gern zu haben):

Wir gehen von einer Lösung mit $\begin{align*} b > 0 \end{align*}$ , $\begin{align*} b \end{align*}$ minimal aus.

Wir haben $\begin{align*} x^2 - y^2 = u^2+v^2, uv=xy \end{align*}$ mit natürlichen Zahlen $\begin{align*} x,y,u,v \end{align*}$ alle ungleich 0 (Sonst ist ja b = 0).

Erstmal ein paar Vorbemerkungen:

1) $\begin{align*} x \end{align*}$ ist offenbar die größte der vier Zahlen.

2) Da beide Seiten ungerade sind (nämlich $\begin{align*} a \end{align*}$ ), ist auf beiden Seiten genau ein Summand gerade. Modulo 4 sehen wir, dass $\begin{align*} x \end{align*}$ nicht gerade sein kann.

Sei nun o.B.d.A auf der rechten Seite $\begin{align*} u \end{align*}$ gerade. Setze $\begin{align*} \lambda = \frac{x}{u} = \frac{p}{q} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} \frac{p}{q} \end{align*}$ gekürzter Bruch ist. Klar ist nun: $\begin{align*} p \end{align*}$ ist ungerade, $\begin{align*} q \end{align*}$ ist gerade, und wir haben $\begin{align*} p > q \end{align*}$ .

Nun setzt man $\begin{align*} x = \lambda u, y = \frac{v}{\lambda} \end{align*}$ ein und erhält nach Rechnung:

$\begin{align*} \frac{x^2}{v^2} = \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} \end{align*}$ .

Die linke Seite ist ein Quadrat in $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ , also auch die rechte Seite. Die rechte Seite ist aber ein gekürzter Bruch. Folglich sind sowohl Zähler als auch Nenner Quadrate, nun aber in $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ .

Dies liefert uns eine kleinere Lösung $\begin{align*} p^2+q^2 = c'^2, p^2-q^2=d'^2 \end{align*}$ . Mit unendlichem Abstieg folgt die Behauptung.

Dir bleibt jetzt noch zu zeigen:

a) Dass der Bruch $\begin{align*} \frac{p^2+q^2}{p^2-q^2} \end{align*}$ tatsächlich gekürzt ist.
b) Nachvollziehen, dass tatsächlich $\begin{align*} q < b \end{align*}$ ist.

16.09.2014, 19:08

HAL 9000

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Schöne Lösung. Freude

Freude

(Hoffentlich ist der Fragesteller jetzt nicht verschreckt.)

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