Grenzen des Integrals

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12.09.2014, 16:26	Chris00	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzen des Integrals Hallo, folgende Aufgabe: D {(x,y) \in R^2 \| y >= 0} beschränkte Menge, die von den Kurven y = 0, y^2=x und y = 2-x berandet wird. Es soll nun berechnet werden: $\begin{eqnarray} \iint \limits_D xy d(x,y) \end{eqnarray}$ Nun hab ich mir dazu eine Skizze gemacht: [attach]35330[/attach] Ich hänge nun bei den Grenzen. Von wo bis wo muss ich x und wo y integrieren. Wenn ich erst nach dy und dann nach dx integrieren wollen würde, würde ich die Grenzen $\begin{eqnarray} x \in [0, 2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [2-x, \sqrt{x}] \end{eqnarray}$ wählen. Stimmt das? Wenn ich erst nach dx und dann nach dy integrieren wollen würde, würde ich die Grenzen $\begin{eqnarray} y \ in [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in [y^2, 2-y] \end{eqnarray}$ Dh. ich gehe im Prinzip den Weg ab und verwendet die jeweilige Grenze... Im Grunde will ich nur wissen ob das so ings. stimmt? Passt meine Vorgehensweise am Ende? Gruß
12.09.2014, 16:29	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt nicht so ganz. Richtig erkannt hast du, dass das ganze bzgl der x-Achse von 0 und 2 begrenzt wird. Die obere Grenze von y aber unterscheidet sich. Die untere ist wieder dieselbe. Deine Aufgabe ist es, daraus zwei Doppelintegrale zu bilden, mit je der entsprechenden Obergrenze. Wie lautet die gemeinsame Untergrenze?
12.09.2014, 17:01	Chris00	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzen des Integrals dy dy ==> $\begin{eqnarray} x \in [0, 2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [\sqrt{x}, 2-x] \end{eqnarray}$ dx dy ==> $\begin{eqnarray} y \in [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in [y^2, 2-y] \end{eqnarray}$ Du schreibst etwas verwirrend Kannst du das nochmal etwas genauer umschreiben. "Die obere Grenze von y aber unterscheidet sich. Die untere ist wieder dieselbe." Heißt einfach Grenzen tauschen wie oben? Kannst du mir erklären, wie man auf die Grenzen kommt? Also warum man genau so die Grenzen wählt?
12.09.2014, 21:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeih . Einigen wir uns erstmal auf die Reihenfolge dy dx. Variable Grenzen werden zuerst integriert. Nun haben wir $\begin{eqnarray} x \in [0, 2] \end{eqnarray}$ . Wie sehen nun die Grenzen für y aus. Erwähnt hatte ich ja schon, dass du zwei Integrale bilden musst. Welche Aufteilung bzgl. der x-Achse könnte hier sinnvoll sein?
13.09.2014, 09:02	Chris00	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinnvoll, wenn ich mir die Skizze angucke, ist von $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in [1,2] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2-x \end{eqnarray}$
14.09.2014, 13:20	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso war es gemeint! Probiere dich daran und integriere.
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15.09.2014, 10:40	Chris00	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei der Reihenfolge dy dx: $\begin{eqnarray} x \in [0,2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [\sqrt{x}, 2-x] \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt aber nach dx dy integrieren will: $\begin{eqnarray} y \in [0, 1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [0,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 2-y \end{eqnarray}$ Dann sieht das ganze ja etwas anders aus. Dh. y ist immer nur zwischen 0 und 1 im Gegensatz zu oben $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in [1,2] \end{eqnarray}$ Wenn ich hier stupide nach der Reihenfolge von links nach rechts über die x-Achse gehe, würde ich für dx dy so integrieren: $\begin{eqnarray} y \in [0,1] \quad x \in [y^2, 2-y] \end{eqnarray}$ Leider ist mir das Vorgehen noch nicht ganz klar, da die Schritte sich unterscheiden zwischen dx dy und dy dx Wie wäre es, wenn hier jetzt noch eine z-Achse vorhanden wäre. Würde dieses Integral/Achse dann so behandeln wie y? Hoffe du verstehst was ich meine Schöne Grüße
15.09.2014, 11:10	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Integrationsreihenfolge zu vertauschen hat nichts damit zu tun auf einmal mit der Umkehrfunktion zu kommen (was wohl auch möglich ist, wenn ich das recht sehe, ich selbst aber noch nie auf die Idee gekommen bin :P). Zumindest nicht generell. Hast du keine Variable Grenzen und nen Normalbereich bzgl beider Achsen, ist die Reihenfolge der Integration völlig irrelevant...ohne mit Umkehrfunktionen zu kommen . Wenn du für $\begin{eqnarray} x \in [0,2] \end{eqnarray}$ integrierst, beachte, dass hier zuerst nach y integriert werden muss, da dort variable Grenzen vorliegen. Wünschst du andersrum zu integrieren, kannst du hier aber wohl tatsächlich mit der Umkehrfunktion arbeiten. Versuch dich einfach mal .
18.09.2014, 14:53	Chris00	Auf diesen Beitrag antworten »
Neues Problem gleiches Thema. Ich habe ein Gebiet $\begin{eqnarray} G = \{(x,y,z) \in R^3: x^2+y^2 >= 1, z >=0, x^2+y^2+z^2 <= 4 \} \end{eqnarray}$ Nun stellt $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2 <= 4 \end{eqnarray}$ eine Kugel dar und durch $\begin{eqnarray} z >=0 \end{eqnarray}$ ist es eine Halbkugel mit Radius 2 um $\begin{eqnarray} \vec 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+y^2 >= 1 \end{eqnarray}$ ist ein Kreis mit dem Radius 1 So nun soll ich das Volumen ausrechnen, dafür brauche ich wieder die schönen Grenzen: $\begin{eqnarray} z \in [0, \sqrt{4-x^2-y^2}] \end{eqnarray}$ ist ja noch gut machbar. So nun würde ich in Zylinderkoordinaten weiter rechnen, wgn. $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ Nun zur Grenze: Ich weiß das $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 >= 1 \end{eqnarray}$ ist, aber eine obere Grenze finde ich nicht. Könnt ihr mir weiterhelfen?
18.09.2014, 16:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Chris, ich bin heute nicht so oft unterwegs. Am besten machst du dafür ein neues Thema auf, damit sich wer anderes drüber schauen kann . Die Idee mit den Zylinderkoordinaten ist nicht schlecht. Ich würde aber wohl eher Kugelkoordinaten nehmen (habs jetzt aber nicht genauer angeschaut)?! Für den Kreis: Beachte, dass du von 0 bis 1 den Radius hast....

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