Komplexe Fourierreihe |
| 12.09.2014, 16:55 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Komplexe Fourierreihe Guten Tag, Ich komme bei dieser komplexen Fourierreihe des oben dargestellten Signals nicht weiter. Mein Problem ist, dass ich in gezeigtem Signalverlauf über den Abschnitt t2-t1 den Wert gegen 0 habe, sodass mein Integral für diesen Fall entfällt. So habe ich im weiteren Verlauf der Rechnung keine Kürzungsmöglichkeiten vorhanden und somit einen arg komplizierten Ausdruck, welcher sich von normalen Reihenentwicklungen differenziert. Ich denke, ich habe irgendwo einen Denkfehler oder eine Kürzungsmöglichkeit übersehen. Bin froh über jede Hilfe. Meine Ideen: Lösungsansätze auf dem Scan zu erkennen. |
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| 12.09.2014, 19:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Komplexe Fourierreihe Der Sägezahn fällt laut Zeichnung und der Formel oben, später aber steigt er dann bei Dir. Daher hab ich mir den Rest nicht so genau angeschaut. Prinzipiell könntest Du zum Schluss aber über die Beziehung weiter vereinfachen. Viele Grüße Steffen |
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| 12.09.2014, 19:13 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe ich jetzt nicht so ganz, was du mir damit sagen möchtest. Die Intervallbeschreibung ist doch korrekt. Der Sägezahn befindet sich zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle U0 und nimmt dann je nach Zeitpunkt mit m = U2/t1 ab. Da ich aber nur die Intervalle -t3 bis 0 sowie 0 bis t1 betrachte kann es mir doch egal sein, ob mein Sägezahn später (also nach t3) wieder zum Wert U0 zurückkehrt. Die Vereinfachung gilt jedoch nur, sofern ich die Periode betrachte. In der Klammer fällt nichts weg, da t1 =! t2/2 oder t2 ist. |
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| 12.09.2014, 19:24 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das Intervall ist noch korrekt beschrieben. Im Integral aber ist diese Funktion plötzlich anders. Mag sein, dass ich was überlese, aber nach dem ersten Gleichheitszeichen steht nur noch U0/t1*t. Und Du betrachtest in der Tat hier nur eine Periode, denn es ist ja eine periodische Funktion. Das ergibt ein diskretes Spektrum, kein kontinuierliches. Daher ist die Vereinfachung zulässig. |
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| 12.09.2014, 19:33 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast vollkommen recht, ich hab das U0-(..) unterschlagen. Ist ja jetzt erstmal irrelevant, theoretisch hätte ich auch über die Zeitintervalle t1 bis 0 und t1 bis t2 integrieren können. In diesem Falle hätte ich die Konstante gar nicht erst in meiner Integration vorhanden und auch ein positives Vorzeichen für die Steigung. Wäre insgesamt ein wenig simpler aus der Position. Okay, also jedesmal wenn dieser Fall auftritt kann ich sozusage die Periode über (in dem Beispiel) t1 annehmen? Das erleichtert die Arbeit ja gewiss. Ich kann mir das nur gerade schwer vorstellen, da ich als Frequenzgrundschwingung meinen kompletten Anteil betrachte und jetzt die Periodizität auf t1 beschränke. Hätte ich in dieser Betrachtung nicht von vorn herein auch das Integral für den Fall U0 = 0 weg lassen können? Jetzt habe ich eine Konstante drin, welche ich theoretisch einfach mit Null gleichsetzen kann. |
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| 12.09.2014, 19:49 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die Periode ist nach wie vor t2. Und daher integrierst Du auch von 0 bis t2, um cn zu erhalten. Es ist natürlich angenehm, dass u(t) ab t1 Null ist. Aber natürlich bleiben einige Terme mit dem Ausdruck t1/t2 stehen. |
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| 12.09.2014, 19:54 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann verstehe ich nicht, wie mir die Integration über den Intervall 0 bis t2 weiterhelfen soll, wenn meine Funktion für diesen Bereich als 0 odergar keine Definition besitzt. Deine Aussage kann ich noch nicht nachvollziehen bzw. was das für mich jetzt bedeutet:
Da du jetzt sagst, dass ich trotzdem über die Peride T = t2 integriere, bin ich bei meinem selben Problem wie zuvor auch. Ich kann nicht einfach den Zeitpunkt t1 mit der Periodendauer t2 kürzen unter obriger Annahme. |
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| 12.09.2014, 20:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, da kürzt sich leider auch nicht viel. Du wirst aber, wie gesagt, das w los und kannst eventuell noch zusammenfassen, ich hab's jetzt noch nicht durchgerechnet. Dass so ein periodischer Sägezahnpuls kein triviales Spektrum hat, ist nun mal leider so. |
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| 12.09.2014, 20:38 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, dann danke für die Bestätigung. Ich hatte schon daran gezweifelt, ob ich irgend eine simple Möglichkeit des Zusammenfassens nicht gesehen habe. Kann man dies verallgemeinern? Also jegliche Signale die prinzipiell so aufgebaut sind? Periodendauer T2, T1 =/= T2/2 und mit einem Nullverlauf? Da müsste es doch egal sein, ob es sich um einen Sägezahn, eine Rechteckfunktion oder sonstiges handelt. Die Problematik taucht doch immer wieder auf. Das Problem müsste ich auch nicht nur bei der Betrachtung von C_n, sondern auch von a_n und b_n besitzen. |
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| 12.09.2014, 21:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann das tatsächlich verallgemeinern. Bei diesem Beispiel handelt es sich ja im Grunde um die Multiplikation eines Sägezahns mit einem Rechteckpuls. Letzterer läßt den Sägezahn jeweils t1 lang durch, dann sperrt er ihn bis zum Schluss der Periode. Und Multiplikation im Zeitbereich ist Faltung im Frequenzbereich. Das Pulsspektrum wird hier also mit dem Sägezahnspektrum gefaltet - oder eben mit einem Rechteck, Dreieck, was auch immer. Viele Grüße Steffen |
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| 12.09.2014, 21:45 | FourierHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann danke ich dir für die Erleuchtung. Wie sieht das mit der Faltung eigentlich aus? Ich weiß, dass zwei Rechteckfunktionen [x(f) und y(f)] eine Dreiecksfunktion in z(f) ergeben. Mit Dreieck meine ich explizit die Sägezahnfunktion, bei welcher abwechselnd eine steigende Flanke ihr Maximum erreicht und in eine fallende Flanke überschwingt und das Signal gegen 0 geht, folglich nicht diesen typischen Sägezeihn mit Steigung-rapiden Abfall als periodisches Objekt. Kann ich ohne eine Multiplikation vorzunehmen direkt erkennen, um welches Signalbild es sich dann im Frequenzbereich handelt? Da sind meines Erachtens viele Faktoren zu berücksichtigen. Wir hatten in der Vorlesung neben der der besagten Rechteck-Rechteck Faltung, mit Dreieck als Resultat (Warum identisch mit der Autokorrelation??), noch die Faltung zwischen Rechteck-Sägezahn behandelt. Hier ähnelte der Signalverlauf stark dem Auf- sowie darauf folgenden Entladevorgang am Kondensator. Also eine exponentielle Annäherung an einen Wert mit exponentiellen Abfall auf 0. Wie gesagt, würde mich einfach stark interessieren ob und wie man solche Resultate der Faltung direkt erkennen könnte. Eventuell gibt es ja auch ein "Faltungs-Tabellenbuch" wo diese Bilder abgelichtet sind. Danke für die Hilfe. |
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| 12.09.2014, 22:25 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier sind die Spektren leider etwas komplizierter als nur ein Rechteck und ein Dreieck. Es sind ja jeweils diskrete Linien. Es ist vielleicht am besten, sich erst mal zwei sehr simple Signale zu nehmen. Also einen Rechteck sowie dazu einen niederfrequenteren Sinus. Sagen wir mal, der Rechteck mit 1 kHz, der Sinus mit 100 Hz. Das reine Rechteckspektrum ist klar: 1 kHz, 3 kHz, 5 kHz und so weiter, mit immer kleineren Amplituden. Nun multiplizieren wir im Zeitbereich den Sinus dazu - das ist dann im Grunde eine Pulsamplitudenmodulation. Im Spektrum wird jetzt links und rechts der genannten Linien jeweils eine weitere Linie im Abstand 100 Hz erscheinen. Und genau das ist die Faltung! Das Sinusspektrum mit positiver und negativer 100-Hz-Frequenz wird um das Rechteckspektrum gefaltet, was man hier beinahe wörtlich nehmen kann. Wenn man das mal verinnerlicht hat, kann man zu komplizierteren Spektren übergehen, das Prinzip bleibt ja dasselbe. |
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