Spatprodukt Herleitung Höhe

13.09.2014, 15:39	Vicky0205	Auf diesen Beitrag antworten »
Spatprodukt Herleitung Höhe Meine Frage: Hallo, ich bräuchte einmal dringende Hilfe bei der Herleitung des Spatprodukts. Und zwar frage ich mich wie man darauf kommt, dass die Höhe= Betrag von Vektor c * cos(ß) ist und wie man das dann wiederum am Ende zu Grundfläche mit dem Skalarprodukt mit Vektor c zusammen fassen kann? Vielen Dank für eure Hilfe! Meine Ideen: Also irgendwie hängt das damit zusammen, dass die Höhe des Spats senkrecht auf die Grundfläche trifft und ein Dreieck bildet dass einen rechten Winkelt hat oder?
13.09.2014, 19:34	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spatprodukt Herleitung Höhe Guten Abend, also der Reihe nach: 1. Skizze: [attach]35342[/attach] Der Spat wird von den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \text{ und } \vec c \end{eqnarray}$ aufgespannt. 2. Das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b = \vec n \end{eqnarray}$ liefert den Normalenvektor auf die Grundfläche, wobei gilt: Die Flächengröße $\begin{eqnarray} A = \|\vec n\| = \|\vec a\| \cdot \|\vec b\| \cdot \sin(\angle(\vec b, \vec a)) \end{eqnarray}$ 3. Durch das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec n \cdot \vec c \end{eqnarray}$ wird der Vektor c senkrecht auf den Vektor n projiziert und erzeugt dort die Höhe h: $\begin{eqnarray} \|h\| = \|\vec c\| \cdot \cos(\beta) \end{eqnarray}$ 4. Alle Teile zusammengeschraubt, ergibt das Volumen eines Spats: $\begin{eqnarray} V =\underbrace{ (\vec a \times \vec b)}_{= \vec n} \cdot \vec c \end{eqnarray}$ 5. Wenn noch Fragen, frage!

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