Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen

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13.09.2014, 18:48	alinus	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Meine Frage: Ich habe folgende Funktion, die ich auf Extremwerte untersuchen möchte: $\begin{eqnarray} f(x,y) = 3xy - x^3 - y^3 \end{eqnarray}$ Für die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray} f_{x} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{y} = 0 \end{eqnarray}$ habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> f_{x} = 3y - 3x^2 = 0<br /> f_{y} = 3x - 3y^2 = 0<br /> \end{eqnarray}$ Wie kann ich diese Terme auflösen, damit ich die Lösung (0,0) und (1,1) erhalte? Wäre für hilfreiche Tipps sehr dankbar! Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> f_{x} = 3y - 3x^2 = 0<br /> \Rightarrow x^2 = y<br /> <br /> f_{y} = 3x - 3y^2 = 0<br /> \Rightarrow y^2 = x \end{eqnarray}$
13.09.2014, 18:56	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Einsetzen!?
13.09.2014, 19:40	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Meinst du das so? $\begin{eqnarray} <br /> f_{x} = 3y - 3x^2 = 0<br /> \Rightarrow x^2 = y<br /> \Rightarrow (y^2)^2 = y \| -y<br /> \Rightarrow y^4 - y = 0<br /> \Rightarrow y(y^3-1) = 0 <br /> \Rightarrow y_{1} = 0<br /> \Rightarrow y_{2} = y^3-1 = \sqrt[3]{1} = 1<br /> <br /> <br /> f_{y} = 3x - 3y^2 = 0<br /> \Rightarrow y^2 = x<br /> \Rightarrow (x^2)^2 = x<br /> \Rightarrow x_{1} = 0<br /> \Rightarrow x_{2} = 1<br /> \end{eqnarray}$ Ich könnte ja auch x1 = 1 gesetzt haben. Woher weiß ich denn in welche Kombination zusammengehören?
13.09.2014, 19:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Einsetzen! Das Paar (x,y)=(1,0) erfüllt nicht $\begin{eqnarray} x^2=y \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} x^2=y \end{eqnarray}$ bekommst du übrigens auch gleich das passende x zum y geliefert. Edit: Schau dir nochmal an, was du zu y_2 geschrieben hast.
13.09.2014, 20:41	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Ahh, danke! :-) Hm, ist da noch ein Fehler bei $\begin{eqnarray} y_{2} \end{eqnarray}$ ?
13.09.2014, 22:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert bei Funktionen mit zwei Variablen Also diese Gleichung $\begin{eqnarray} y_{2} = y^3-1 = \sqrt[3]{1} = 1 \end{eqnarray}$ würde ich schon als falsch bezeichnen
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14.09.2014, 12:08	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut ;-) Dann hier nochmal die Auflösung nach $\begin{eqnarray} y_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> y(y^3-1) = 0 \| : y<br /> y^3-1 = 0 \| + 1<br /> y^3 = 1 \| \sqrt[3]{} <br /> y = \sqrt[3]{1}<br /> y_{2} = 1 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ Danke für deine Hilfe!
14.09.2014, 12:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei du natürlich bei der Division durch y voraussetzen musst, dass y nicht Null ist
14.09.2014, 12:21	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie könnte ich das denn prüfen?
14.09.2014, 12:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du nicht prüfen, das musst du an der Stelle voraussetzen. Den Fall y=0 hast du aber doch schon vorher abgehandelt. Das war eher als formaler Hinweis gedacht. Ein Korrektor würde an der Stelle sonst den Rotstift ansetzen
14.09.2014, 13:05	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zum Thema "Welcher x-Wert gehört zu welchem y-Wert" Ich habe folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x -3y \end{eqnarray}$ Nullstellen bei $\begin{eqnarray} f_{x}<br /> x_{1} = 1<br /> x_{2} = -1<br /> \end{eqnarray}$ Nullstellen bei $\begin{eqnarray} f_{y}<br /> y_{1} = 1<br /> y_{2} = -1<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich doch die jeweiligen Werte in die f(x,y) funktion einsetzen und dann nach y auflösen oder? Mein Vorgehen: $\begin{eqnarray} <br /> f(1,y) = 1 + y^3 - 3 - 3y<br /> \Rightarrow 1 + y^3 - 3 - 3y = 0 \| + 2<br /> \Rightarrow y^3 - 3y = 2<br /> \end{eqnarray}$ Aber das stimmt doch irgendwie nicht!?
14.09.2014, 13:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Letztlich hast du jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray} f(1,y) = 1 + y^3 - 3 - 3y=0 \end{eqnarray}$ betrachtet und nach y aufgelöst. Das liefert alle Nullstellen von f, bei denen die erste Koordinate 1 ist. Mit Extremstellen hat das erstmal nichts zu tun. Relevant sind die Gleichungen f_x=0 und f_y =0, nicht f=0. Letztlich kommt es darauf an, für welche Kombination $\begin{eqnarray} (x_1,y_j) \end{eqnarray}$ die Gleichungen $\begin{eqnarray} f_x(x_i,y_j)=f_y(x_i,y_j)=0 \end{eqnarray}$ bestehen.
14.09.2014, 22:41	tago	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das so schreiben?: $\begin{eqnarray} <br /> f_{x}(x, y) = f_{y}(x, y) = 0<br /> f_{x}(1,y) = f_{y}(x, 1) = 0<br /> f_{x}(1,y) = f_{y}(x, -1) = 0<br /> f_{x}(-1,y) = f_{y}(x, 1) = 0<br /> f_{x}(-1,y) = f_{y}(x, -1) = 0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also können die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) als Lösung genannt werden?
15.09.2014, 20:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wenig ausführlicher sollte es schon sein. Z.B. fehlen ab der zweiten Zeile Aussagen darüber, für welche x bzw. y sie gelten. Man könnte so formulieren Notwendige Bedingung für Extremstellen ist $\begin{eqnarray} f_{x}(x, y) = f_{y}(x, y) = 0 \end{eqnarray}$ Es gilt <Rechnung hier einfügen> $\begin{eqnarray} f_{x}(x,y) =0 \iff x^2=1 \end{eqnarray}$ und <Rechnung hier einfügen> $\begin{eqnarray} f_{y}(x, y) = 0 \iff y^2=1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f_{x}(x, y) = f_{y}(x, y) = 0 \iff x^2=y^2=1 \end{eqnarray}$ Das entspricht natrürlich deinen vier Lösungen. Damit hast du jetzt Kandidaten für Extremstellen gefunden. Ob hier Extrema vorliegen und welcher Art sie sind, ist damit noch gar nicht klar. Auch ob es weitere Extrema am Rand des Definitionsbereiches - den du leider nicht angegeben hast - gibt, ist damit nicht betrachtet.

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