Algebraische Vielfachheit & geometrische Vielfachheit |
| 14.09.2014, 14:46 | Mathelover | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Algebraische Vielfachheit & geometrische Vielfachheit kann mir jemand die Interpretation der algebraischen sowie geometrischen Vielfachheiten erklären? Die mathematischen Definition sind mir klar. Aber was bedeutet die algebraische Vielfachheit einer Matrix? Welche Auswirkung hat es, und wieso ist die geometrische Vielfachheit immer kleiner-gleich der algebraischen Vielfachheit? Für Erklärungen bzw. Hinweise bin euch sehr dankbar 
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| 16.09.2014, 01:08 | MatheMaster_93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die algebraische Vielfachheit gibt an, welchen Grad die Nullstelle (=der Eigenwert) des charakteristischen Polynoms hat. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des durch die zu dem Eigenwert zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Unterraums. Es ist ja klar, dass n verschiedene Vektoren im besten Fall einen n-dimensionalen Raum aufspannen. Sind zwei Vektoren aber linear abhängig (=liegen auf einer Geraden) so ist das Erzeugnis nur eindimensional (=eben diese Gerade). Die Matrix ist also diagonalisierbar, falls alle Eigenvektoren linear unabhängig sind. (Zu verschiedenen Eigenwerten ist das stets der Fall - nur "innerhalb eines Eigenwertes" kann das oben Geschilderte passieren. Hat deine n x n - Matrix also n Eigenwerte, so spannen die n verschiedenen Eigenvektoren bereits n verschiedene Unterräume auf und wir sind diagonalisierbar). Hoffe ich konnte helfen ;-) |
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