Quadratische Gleichungen

14.09.2014, 18:02

Algebra0

Quadratische Gleichungen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich habe ein Problem mit quadratischen Gleichungen.
Ich erstehe nicht wie man diese löst bzw. was der Sinn der gemachten Schritte ist. Auch weiss ich nicht ob es mehrere Möglichkeiten gibt diese zu lösen ich lese viel von einer "pq-Formel" sehe aber auch andere Wege.

Ich werde euch ein paar Aufgaben zeigen die mir inkl. Lösungsweg vorgelegt wurden und gehe dann mehr ins Detail.

1.

$\begin{eqnarray*} x^{2} - \frac{1}{2}x + 3 = 0 2x^{2} - x + 6 = 0 x = \frac{1\pm \sqrt{1-48}}{4} L = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} x \left(x - 2\right) = 5 x^{2} - 2x - 5 = 0 x = \frac{2\pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{2\pm 2 \sqrt{6}}{2} = \frac{2 (1\pm 6 \sqrt{6})}{2} L = \left\{ 1\pm \sqrt{6} \right\} \end{eqnarray*}$

3.

$\begin{eqnarray*} 4x^{2} - x -1,5 = 0 | \cdot 2 8x^{2} - 2x - 3 = 0 x = \frac{ 2\pm \sqrt{4 + 96} }{16} = \frac{2\pm 10}{16} x_{1} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} x_{2} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2} L = \left\{ \frac{3}{4} ; -\frac{1}{2} \right\} \end{eqnarray*}$

So, das waren 3 von 50 die ich lösen müsste.

Ich verstehe nicht woher manche Zahlen kommen obwohl ich eine Relation u einer anderen Zahl in der Rechnung sehe.
<ich weiss auch nicht warum eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung haben kann.

Kurz und knapp verstehe ich nichts davon.
Ich habe mir etliche Foren und Hilfen dazu durchgelesen, komme aber auf keinen grünen Zweig, auch mit Youtube-Videos leider nicht.

Was ich noch irgendwie durchblicke ist, dass man die Rechnung anfangs vereinfacht.

Kann mir da jemand die Starthilfe geben die ich brauche?

Meine Ideen:
Ich habe grundsätzlich eine schnelle Auffassungsgabe, hatte aber lange schon keine Schule mehr und bin deutlich eingerostet was Mathe angeht.
Weitere speizfische Fragen natürlich einfach stellen.

14.09.2014, 18:22

Gast11022013

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Ja, es gibt mehrere Möglichkeiten eine quadratische Gleichung zu lösen.
Zum Beispiel mit der pq-Formel oder Mitternachtsformel. Dabei sind diese Formeln im Grunde identisch. Sie unterscheiden sich nur etwas in ihrer Anwendung.
Denn für die pq-Formel brauchst du die sogenannte Normalform um sie anwenden zu können.
Im Gegensatz zur Mitternatsformel wird also benötigt, dass der Koeffizient des x^2 gleich 1 ist.

Allerdings würde ich stets die pq-Formel der Mitternachtsformel vorziehen. Oder wie ihr sie auch immer nennt.

Weiter Verfahren wäre ganz normales Wurzelziehen, der Satz von Vieta, Ausklammern und die quadratische Ergänzung.
Letzteres ist aber eigentlich der "große Bruder" deiner Lösungsformeln und nicht sonderlich effizient.
Der Rest bezieht sich eher auf "Spezialfälle" von Gleichungen. Also wenn die pq-Formel oder ähnliche Lösungsformeln nicht notwendig sind.

Deine Lösungen sollten alle richtig sein.

Allerdings multiplizierst du deine Gleichung immer erst. Eigentlich ist das unnötig. Du kannst auch direkt die Formel anwenden.

Zitat:

Kurz und knapp verstehe ich nichts davon.

Hast du die Aufgaben selber gelöst, oder irgendwo abgeschrieben. Ansonsten ist das ja augenscheinlich falsch. Du hast es ja immerhin korrekt gemacht.

Zitat:

Ich verstehe nicht woher manche Zahlen kommen obwohl ich eine Relation u einer anderen Zahl in der Rechnung sehe.

Dazu musst du ja eigentlich nur in die Formel gucken.

Zitat:

ich weiss auch nicht warum eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung haben kann.

Stelle dir einfach mal eine quadratische Gleichung bildlich vor. Male dir eine Skizze um es dir zu veranschaulichen.

Edit:

So sieht es graphisch aus.

14.09.2014, 20:39

Algebra0

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Unnötiges Vollzitat entfernt. Steffen

Leider wurden mir diese Aufgaben mit den Lösungen und dessen Lösungswege vorgelegt. Ich habe also lediglich das digitalisiert, was man mir auf einem Dokument übergeben hat.

Leider muss ich offen zugeben das ich, trotz aller Dankbarkeit für deinen Beitrag, nichts davon verstanden habe.

Welcher Weg/Welche Formel wird in meinen Beispielen verwendet?
Warum gibt es z.B. bei der ersten Aufgabe unter der Wurzel "1 - 48" oder vor der Wurzel " $\begin{eqnarray*} 1 \pm \end{eqnarray*}$ "?
Was ist überhaupt eine quadratische Formel bzw. was ist der Unterschied zu anderen? Was versucht man auch mit diesen Formeln zu machen?

14.09.2014, 21:02

Gast11022013

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Eine quadratische Gleichung hat die Form

$\begin{eqnarray*} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

Also zum Beispiel sowas

$\begin{eqnarray*} 2x^2-7x+9=5 \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung würde man nun lösen. Das heißt du suchst jene x-Werte für die die Gleichung 5 ergibt wenn du sie einsetzt.
Und sowas kann maximal 2 Lösungen habe. Es kann aber auch nur eine Lösung geben, oder die Gleichung ist unlösbar.
Setzt man diese Gleichung nun gleich Null, also man subtrahiert die 5

$\begin{eqnarray*} 2x^2-7x+4=0 \end{eqnarray*}$

So ist die grafische Anschauung die Schnittpunkte mit der x-Achse. Also die waagerechte Linie im Koordinatensystem.
Siehe dir dazu nochmal das Bild an was ich angehängt habe.

Ihr wendet hier die sogenannte Mitternachtsformel an.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Du ließt dann also anhand deiner Gleichung die Werte für a, b und c ab und setzt sie in ein.

Eine quadratische Gleichung ist also eine Gleichung deren höchster Exponent 2 ist.

y=x^3+x

Wäre zum Beispiel eine Gleichung dritten Grades und

y=2x+3

Eine Gleichung ersten Grades, besser bekannt als lineare Gleichung.

14.09.2014, 21:20

Algebra0

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Vielen Dank. Das bringt mir das Ganze doch schon etwas näher.

Kannst Du mir anhand Deiner Beispielrechnung erklären wie Du die Formel verwenden würdest? Ich sehe da schliesslich b's und ac's und "-" usw. die ich überhaupt nicht mit der eigentlichen Gleichung in Verbindung bringen kann.

$\begin{eqnarray*} 2x^2-7x+4=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ ?

PS: Ebenfalls anhand deiner Beispielrechnung: Ich habe gehört das man das vor dem " $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ " wegebkommen muss indem man die ganze Rechnung durch diese Zahl dividiert. Also würde das dann, wenn ich das richtig verstanden habe, $\begin{eqnarray*} x^2-3.5x+2=0 \end{eqnarray*}$ sein. Oder ist das nur die pq-Formel die uns jetzt erstmal nicht interessiert?

14.09.2014, 21:32

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \underbrace{2}_{a}x^2+\underbrace{(-7)}_{b}x+\underbrace{4}_c=0 \end{eqnarray*}$

a ist also der Vorfaktor des x^2, b ist der Vorfaktor des x und c ist die Konstante, also das ohne x...
Dabei ist zu beachten, dass Vorzeichen auch dazu gehören. Daher habe ich die -7 so geklammert um es deutlich zu machen.

Nun setzen wir es in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2} \\ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-32}}{4} \\ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{4} x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{4}\\ x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{4} \end{eqnarray*}$

An dem was unter der Wurzel steht kann man auch ablesen wie viele Lösungen es gibt.
Dies nennt man die Diskriminante.
Ist die Diskriminante größer als Null, so gibt es zwei Lösungen.
Ist die Diskriminanete gleich Null, so gibt es eine Lösung.
Ist die Diskriminante kleiner als Null, so gibt es keine Lösung. Aus negativen Zahlen kann man ja keine Wurzel ziehen.

Hier wäre die Diskriminante 17. Das ist größer als Null und daher haben wir zwei Lösungen.
Das aber nur als Randbemerkung. Ganz so wichtig ist es nicht, auch wenn für manche Aufgabenstellungen zu gebrauchen.

Zu deinem PS.

Ja, du hättest richtig gerechnet. Und ja, dies ist nur notwendig wenn du die pq-Formel anwenden möchtest. Für die Mitternachtsformel braucht man es nicht.

Die pq-Formel lautet so:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Für Gleichungen die in Normalform vorliegen:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

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