Ableitung eines Integrals bestimmen

15.09.2014, 14:17	Integral27	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung eines Integrals bestimmen Meine Frage: Wie kann man die Ableitung einer Funktion der Form $\begin{eqnarray} f(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} \! g(t,x) \, dx \end{eqnarray}$ allgemein bestimmen, wenn die Funktionen $\begin{eqnarray} a(t), b(t), g(t,x) \end{eqnarray}$ so vorgegeben sind, dass $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ wohldefiniert und differenzierbar ist? Meine Ideen: Ich vermute, dass man $\begin{eqnarray} f'(t) \end{eqnarray}$ allgemein bestimmen kann (und auch ohne die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} g(t,x) \end{eqnarray}$ bestimmen zu müssen). Stimmt das? Wie würde beispielsweise die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(t) = \int_{0}^{t} \! \frac{e^{tx^2}}{x} \, dx \end{eqnarray}$ aussehen?
15.09.2014, 17:29	derdickederbande	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Integrals bestimmen Hallo Integral27. Mir scheint das kann man so lösen: Nehmen wir an, dass alle beteiligten Funktionen hinreichend schön sind, dann gilt doch mit dem HDI: $\begin{eqnarray} \int_{a(t)}^{b(t)} {g(t,x)} {dx}= G(t,b(t))-G(t,a(t)) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} G(t,x) \end{eqnarray}$ Stammfunktion von $\begin{eqnarray} g(t,x) \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist. Differentiation nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ liefert mit der Kettenregel (mehrdimensional): $\begin{eqnarray} g(t,b(t))(1+b'(t)) - g(t,a(t))(1+a'(t)) \end{eqnarray}$ . Ok eine Stammfunktion von G taucht in der Herleitung auf, aber die verschwindet ja am ende wieder.
15.09.2014, 17:35	derdickederbande	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Integrals bestimmen Hm. Da hab ich glaub ich was falsch gemacht. Man muss die Stammfunktion in der Kettenregel einmal nach x ableiten. So geht's dann doch nicht. Ich schau mir das gleich nochmal an
16.09.2014, 09:37	derdickederbande	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Integrals bestimmen ein Ansatz ist es, die folgende Funktion zu betrachten (ich hab die notation ein bisschen geändert): $\begin{eqnarray} F(x,y,z) = \int_x^y {g(z,s)}{ds} \end{eqnarray}$ Setzt man dann $\begin{eqnarray} y = b(t) \\ x=a(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z=t \end{eqnarray}$ und leitet per Kettenregel ab, sollte das was werden. Nämlich: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}F_x, F_y, F_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b'(t) \\ a'(t) \\1\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} F_x \end{eqnarray}$ usw. die partiellen Ableitungen sind. Die sind aber leicht zu berechnen. Ich führ das gleich mal aus. Bin grad auf der Arbeit
16.09.2014, 10:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Integrals bestimmen Hauptsatz war schon richtig, vgl. hier
16.09.2014, 16:44	derdickerderbande	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung eines Integrals bestimmen jepp. Hast recht. Der zweite Ansatz geht aber auch durch.
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