Potenzgleichung lösen

15.09.2014, 16:25

Summertime

Potenzgleichung lösen

Meine Frage:
Hallo!
Wie löse ich
(1-x)^8=0,5 ??

Meine Ideen:
Also man kann den Logarithmus nehmen, sodass es 8 * log (1-x) = log (0,5) heißt. Aber wenn ich dann log (1-x) auf die andere Seite bringe, dann bleibt mein x.
????

15.09.2014, 16:26

Mathema

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RE: Wie löse ich diese Gleichung mit Logarithmus und Exponenten?
Den Logarithmus benutzt man doch nur, wenn dein x im Exponent steht. Was würdest du denn machen, wenn anstatt deiner ^8 ein ^2 steht?

15.09.2014, 16:31

gast1509

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RE: Wie löse ich diese Gleichung mit Logarithmus und Exponenten?
Übungshalber könnte man die log-Variante anschließend noch zu Ende spielen. Verboten ist sie ja nicht. smile

Bin auch schon wieder weg. Wink

15.09.2014, 16:44

Mathema

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Das kann man natürlich. Ich überlege nur gerade: Kommt man da auch auf zwei Lösungen? verwirrt

15.09.2014, 17:30

Summertime

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RE: Wie löse ich diese Gleichung mit Logarithmus und Exponenten?
Achso stimmt!! Dankeschön jetzt habe ich es verstanden smile

)

15.09.2014, 17:43

Mathema

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Alles klar - gern geschehen!

Wenn du deine log Gleichung noch zu Ende rechnen möchtest, musst du halt erst durch 8 dividieren und anschließend den Logarithmus wieder rückgängig machen, d.h. 10^.
Anschließend nach x auflösen.
Meiner Meinung nach kommst du dann aber nur auf eine Lösung, ohne übersehe ich gerade etwas? Würde mich auch interessieren.

16.09.2014, 00:53

mYthos

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Die logarithmische Lösung kann definitionsgemäß nur mit positiven Logarithmanden durchgeführt werden.
Daher scheidet dabei die negative Lösung aus.
Allerdings bedeutet die logarithmische Berechnung bei Potenzgleichungen immer einen Umweg, weil man am Ende wieder entlogarithmieren muss.

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \ln x = \ln 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln x = \frac {\ln 9} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = (e^{\ln 9})^{\frac 1 2} = 9^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

Zu der letzten Gleichung hätte man weit unmittelbarer gelangen können, wäre

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$

auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ potenziert worden:

$\begin{eqnarray*} (x^2)^{\frac 1 2} = 9^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$

Da gefordert ist, dass die Basen bei Potenzen mit reellen Hochzahlen sinn- und definitionsgemäß größer als Null sein müssen, ist auch das Ergebnis positiv.

Anmerkung: Auch die Wurzel aus 9 ist (definitionsgemäß) nur gleich 3 und keineswegs -3 (!)
Das hindert nicht daran, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 - 9 = 0 \end{eqnarray*}$

die beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1 = 3 \ \vee x_2 = -3 \end{eqnarray*}$ besitzt.

mY+

16.09.2014, 01:47

Dopap

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ja, das ist immer wieder ein Thema.

1.) Strenggenommen sollte eine Gleichung eine Definitionsmenge besitzen.

2.) beim "Auflösen" sollte man strenggenommen immer rechts die MengenEinschränkungen der vorgenommenen Operation mit logischem "und" notieren.

3.) Eventuelle Lösungsmengen gelten dann nur in der Durchschnittsmenge der Einschränkungen.

4.) Die Lösungsmenge ist durch die Art der verwendeten Operatoren eventuell nicht vollständig.

----> das macht so gut wie niemand immer so. Das ist auch kein Beinbruch, da es in den meisten Fällen "gutgeht"

16.09.2014, 20:45

Mathema

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \ln x = \ln 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln x = \frac {\ln 9} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = (e^{\ln 9})^{\frac 1 2} = 9^{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

Ich hätte es mir auch einfach mal so ausführlich hinschreiben sollen, da war meine Faulheit wohl zu groß. Danke dir!

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