Mannigfaltigkeit Tangentailraum Normalenraum

15.09.2014, 16:34	ILDM	Auf diesen Beitrag antworten »
Mannigfaltigkeit Tangentailraum Normalenraum Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu einem Text den ich zur Zeit lese. Wir nehmen an, dass die Systemlösung im Zustandsraum, nahe oder auf einer $\begin{eqnarray} m_{s} \end{eqnarray}$ -dimensionalen Mannigfaltigkeit, welche durch eine explizite Funktion $\begin{eqnarray} \Psi(\theta) \end{eqnarray}$ , definiert ist. $\begin{eqnarray} M=\left\{{\Psi:=\Psi(\theta),\Psi: \mathbb R^{m_{s}}\to\mathbb R^{n}} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1) \frac{\partial\Psi}{\partial t} = A(\Psi) + B\cdot grad(\Psi)+ C\cdot div(D\cdot grad(\Psi)) \equiv\Phi(\Psi) \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ handelt es sich um einen $\begin{eqnarray} m_{s} \end{eqnarray}$ -dimensonalen Vektor, der die Mannigfaltigkeit parametrisiert. Er repräsentiert die Lockelen Koordinaten auf der Mannigfaltigkeit. Wir definiern M als eine $\begin{eqnarray} m_{s} \end{eqnarray}$ -dimensionale Systemmanigfaltigkeit, wenn an jedem Punkt von $\begin{eqnarray} \Psi\in M \end{eqnarray}$ das Vektorfeld von (1) beschrieben durch $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ zum Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_{\Psi}M \end{eqnarray}$ von M gehört. Das bedeutet, dass an jedem Punkt auf der Mannigfaltigkeit folgende Bedingung gelten muss. $\begin{eqnarray} (2) (\Psi_{\theta}(\theta) ^\perp ) ^{T} \Phi(\Psi) \equiv 0 \end{eqnarray}$ Wo $\begin{eqnarray} \Psi_{\theta}(\theta) ^\perp \end{eqnarray}$ den Normalenraum auf der Mannigfaltigkeit als $\begin{eqnarray} (\Psi_{\theta}(\theta) ^\perp ) ^{T} \Psi_{\theta} \equiv 0 \end{eqnarray}$ definiert. Die bedingung (2) sagt, dass das Vektorfeld von (1) $\begin{eqnarray} \Phi(\Psi) \end{eqnarray}$ , für Punkte auf der Mannigfaltigkeit, senkrecht zu ihr steht. Meine Ideen: Meine eigendliche Frage geht nun um die zweite Formel (2). Ich habe keine Ahnung, wieso jetzt plötzlich das orthogonale Komplement von der Jacobi Matrix genommen wurde und was das aussagen soll. Wenn mir jemand sagen könnte, was sich der Autor hierbei gedacht hat, wäre ich wirklich froh.

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