Einheiten in Ringen finden bzw. ausschließen

15.09.2014, 17:08

MartinL

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Einheiten in Ringen finden bzw. ausschließen

Moin,

ein Aufgabentyp bereitet mir fast am meisten Probleme. Vielleicht versuche ich es einfach nicht auf die richtige Art. Vielleicht gibt es ja so etwas wie ein "Kochrezept", an das man sich halten kann. Aufgaben sind unter anderem folgende:

Zeigen sie, dass es in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{r^2-1}] := \{a+b\sqrt{r^2-1} | a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ unendlich viele Einheiten gibt $\begin{eqnarray*} 2 \leq r \end{eqnarray*}$ .
Zeigen sie, dass es in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] := \{a+b\sqrt{-5} | a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ nur die Einheiten $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ gibt.

Ich gehe meist so vor, dass ich mir zwei Elemente aus den Ringen hernehme, diese multipliziere, mir die Form des Produkts anschaue und dann irgendwie gucke, wie ich die Variablen belegen könnte, damit das Produkt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wird.

In den Fällen oben käme ich dann auf Gleichungen wie folgende:
$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{r^2-1})(c+d\sqrt{r^2-1}) = ac+ad\sqrt{r^2-1}+cb\sqrt{r^2-1}+bd(r^2-1) = 1 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5}) = ac+ad\sqrt{-5}+cb\sqrt{-5}-5bd = 1 \end{eqnarray*}$

Da die irrationalen Summanden wegfallen müssen, folgere ich meist so etwas wie $\begin{eqnarray*} ad = -cb \end{eqnarray*}$ .

Damit sehen die Gleichungen dann folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} ac+bd(r^2-1) = 1 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} ac-5bd = 1 \end{eqnarray*}$

Das sieht für mich "ziemlich gleich" aus. Gibt es jetzt irgend ein Verfahren, mit dem man weitermachen kann? Ich habe mir auch schon mal die allgemeine Form von inversen Elementen von komplexen Zahlen angeschaut aber damit bin ich auch nicht wirklich weiter gekommen. Wie schafft man es in so einem Fal,l ohne x Fallunterscheidungen, geschickt Widersprüche zu provozieren?

Gruß
Martin

15.09.2014, 17:13

tmo

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Du solltest benutzen, dass die Einheiten in solchen Ringen genau die Elemente mit Norm $\begin{align*} \pm 1 \end{align*}$ sind.

16.09.2014, 12:10

MartinL

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Mhh, da findet man viel. Viele Normen vor allen Dingen. Für meine Zahlen $\begin{eqnarray*} Z = a+bw \end{eqnarray*}$ habe ich in einer Mitschrift (nicht gut dokumentiert) folgende Norm die Norm $\begin{eqnarray*} N(z) = a^2+b^2-ab \end{eqnarray*}$ gefunden. Außerdem stand da, dass $\begin{eqnarray*} N(z) = 1 \Leftrightarrow z \in R^* \end{eqnarray*}$ .

Als Normen für die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ (und sowas habe ich ja hier eigentlich) habe ich gefunden:
$\begin{eqnarray*} N(z) = |z|^2 = \sqrt{z*\overline{z}}^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$
Außerdem habe ich gefunden:
$\begin{eqnarray*} N(z) = |z| = \sqrt{z*\overline{z}} = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen ja die Normen nicht alle gleich sein. Ich bin jetzt im Thema "Norm" nicht zu 100% drin aber drückt eine Norm nicht eigentlich die "Größe" der abgebildeten Objekte in Relation zueinander aus? Könnte deshalb nicht in diesem Fall die Norm einer Einheit mal 1, mal 2, mal 5 sein? Oder reden wir, wenn wir von "Norm" reden hier von einer Standardnorm und ich kenn nur den Standard nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß
Martin

16.09.2014, 12:21

tmo

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Im Ring $\begin{align*} \mathbb Z[\sqrt{d}] \end{align*}$ ist die Norm durch $\begin{align*} a+b\sqrt{d} \mapsto a^2-db^2 \end{align*}$ gegeben. Das entscheidende ist, dass sie multiplikation ist, daraus folgt auch direkt die Aussage aus meinem letzten Post.

16.09.2014, 13:55

MartinL

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Ich hab noch irgendwo nen Denkfehler. Wenn die Norm multiplikativ ist, gilt ja $\begin{eqnarray*} N(z)^2 = N(z) \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2w)(a^2-b^2w) \Leftrightarrow a^2-2a^2b^2w+b^4w^2 = a^2-b^2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -2a^2b^2w+b^4w^2 = -b^2w \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -2a^2+b^2w= -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2a^2-b^2w= 1 \end{eqnarray*}$

Tja, warum folgt daraus, dass a = 1/-1 und b = 0?

Außerdem frage ich mich, wie man im Fall der Fälle auf so eine Norm kommt. So etwas kann man nicht einfach mal ausrechnen oder? Sowas bekommt man und überprüft vielleicht obs eine Norm ist oder nicht oder? Ich wüsste zumindest nicht, wie ich mir selbst eine passende Norm kreieren könnte.

Gruß
Martin

16.09.2014, 14:17

tmo

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Zitat:

Original von MartinL
Wenn die Norm multiplikativ ist, gilt ja $\begin{eqnarray*} N(z)^2 = N(z) \end{eqnarray*}$

verwirrt

Was hat das mit Multiplikativität zu tun?

Und was soll denn nun $\begin{align*} \omega \end{align*}$ sein?

Kommen wir lieber zu den beiden Ringen aus der Aufgabe zurück.

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16.09.2014, 14:23

MartinL

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Ach stimmt, multiplikativ war N(a*b) = N(a)*N(b). Ich probiers damit noch mal. Das nur für die beiden Ringe zu nutzen hilft mir wenig. Ich hab hier viele von den Aufgaben, immer mit anderen Ringen, alle relativ ähnlich aber doch entscheidend unterschiedlich. Ich ende jedes mal mit identischen Gleichungen und komme damit nie weiter. Entweder fehlt mir also ein allen anderen bekanntes Werkzeug im Umgang mit Gleichungen, oder aber es gibt einen anderen Weg, den zu ergründen es gilt.

EDIT: w ist das, was bei dir d ist. Hätte ich dazu schreiben sollen. d und b sehen mir hier beim tippen immer zu gleich aus, deshalb w.

Gruß
Martin

16.09.2014, 14:27

tmo

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Wenn du das im Allgemeineren verstehen willst, empfehle ich dir ein Buch über elementare Zahlentheorie, in dem insbesondere die Theorie der pellschen Gleichung sowie quadratische Zahlkörper behandelt werden. Das trifft eigentlich auf fast jedes solche Buch zu.

Was spricht denn dagegen, hier nur diese 2 Ringe aus der Aufgabe zu betrachten?

16.09.2014, 14:51

MartinL

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Ah ich glaub ich bin ein Stück weiter.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} x = a+b\sqrt{w} \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit. Dann existiert $\begin{eqnarray*} y = c+d\sqrt{w} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist y dann auch eine Einheit.

Damit folgt $\begin{eqnarray*} N(x*y) = N(1) = 1 = N(x)*N(y) \end{eqnarray*}$

Da N(x) und N(y) aus den ganzen Zahlen sind (da a,b,c,d,w aus Z), müssen N(x) und N(y) 1 oder -1 sein.

Damit wäre die eine Richtung schon mal gezeigt. Jetzt denk ich mal über die Rückrichtung nach, was passiert, wenn die Norm 1 oder -1 ist. Danach, wenn ich das kapiert habe, gehts zurück zu den angesprochenen Ringen aber ich würde das lieber erst allgemein hier durchrechnen um dann zu gucken, ob ichs im konkreten Fall anwenden kann. Wenn ich mir das hier direkt mit den Beispielen herleite, weiß ich ja nicht, ob ich nicht beim nächsten Ring dieser Art wieder scheitere.

16.09.2014, 20:26

MartinL

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Mh, bei der Rückrichtung haperts. Eigentlich ist doch nur zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} N(x) = 1 \Rightarrow \exists y \in R | xy = 1_R \end{eqnarray*}$

Hier kommt wieder meine tolle Gleichung ins Spiel....
Sei $\begin{eqnarray*} x = a+b\sqrt{w} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = c+d\sqrt{w} \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt zeigen, dass eine Variablenbelegung für c und d so möglich ist, dass unter der Vorraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} N(x) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} x*y = ac+ad\sqrt{w}+cb\sqrt{w}+bdw = 1 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} a^2-b^2w = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Das hilft mir aber nicht wirklich weiter.

---------------------------
Dann noch eine allgemeinere Frage. Kann man das über jede bel. Norm und jede bel. Einheit sagen, dass x eine Einheit ist, wenn N(x) = 1 ist? Oder funktioniert das nur in dieser Art Ringen mit dieser Norm? Ansonten müsste man eventuell allgemeiner formulieren:
$\begin{eqnarray*} x \in R^* \Leftrightarrow N(x) = N(1) \end{eqnarray*}$
(Oder ist N(1) = 1 in jeder Norm? )

Gruß
Martin

16.09.2014, 20:42

shipwater

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Beachte: $\begin{eqnarray*} N(a+b \sqrt{d})=(a+b \sqrt{d})(a-b \sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ , kannst du damit im Falle von $\begin{eqnarray*} N(x) \in \{\pm 1\} \end{eqnarray*}$ ein Inverses angeben?

16.09.2014, 21:04

MartinL

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Hab ich das nicht mit der Form schon?
Wenn $\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt{d}) = 1 = (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ ist, ist ja $\begin{eqnarray*} (a-b\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ ein Inverses zu x.

Wenn
$\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt{d}) = -1 = (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ ist, dann kann ich das ja einfach noch einmal multiplizieren und erhalte:
$\begin{eqnarray*} 1 = (a+b\sqrt{d})*((a-b\sqrt{d})(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit diesem Wissen scheinen die Aufgaben tatsächlich einfacher.

Zeige: mit $\begin{eqnarray*} R = \{a+b\sqrt{-5} | a,b \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$ gibt es nur die Einheiten 1 und -1.

Sei $\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt{-5}) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2-5b^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a-\sqrt{5}b = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass b = 0 und a = 1 oder -1 ist. Damit wäre dieser Teil dann schon mal gelöst.

Gruß
Martin

16.09.2014, 21:10

shipwater

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Im Falle von $\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt{d})=-1 \end{eqnarray*}$ kannst du das Inverse natürlich auch als $\begin{eqnarray*} -(a-b \sqrt{d})=b \sqrt{d}-a \end{eqnarray*}$ deuten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kannst du mal erklären was du dir bei diesem Schritt gedacht hast:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2-5b^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a-\sqrt{5}b = 1 \end{eqnarray*}$
?

Edit: Mal ganz davon abgesehen, dass du die Norm eh falsch aufgestellt hast.

17.09.2014, 00:20

MartinL

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Mhh, ich hab mir gedacht, ich vergesse bei der 5 mal das Vorzeichen und ziehe dann ne Wurzel aber getrennt für jeden Summanden. Total dämlich. Hab mich so über die Idee gefreut, dass ich dann alles falsch gemacht hab. Müsste aber trotzdem funktionieren:

$\begin{eqnarray*} N(x) = a^2+5b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Damit sieht man dann noch klarer, dass b 0 sein muss und a dann entweder 1 oder -1 ist. Wäre b ungleich 0, wäre die Summe auf jeden Fall immer größer als 1.

Gruß
Martin

17.09.2014, 10:58

MartinL

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Und jetzt noch mal der zweite Aufgabenteil:

Zeigen sie, dass es in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{r^2-1}] := \{a+b\sqrt{r^2-1} | a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ unendlich viele Einheiten gibt $\begin{eqnarray*} 2 \leq r \end{eqnarray*}$ .

Hier müsste es ja genügen zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} x = a+b\sqrt{r^2-1} \end{eqnarray*}$ die die Gleichung
$\begin{eqnarray*} N(x) \Leftrightarrow a^2-b^2(r^2-1) \Leftrightarrow a^2-b^2r^2+b = 1 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen hat.

Man sieht direkt, dass b = 0 und a = +-1 die Gleichung lösen.
Etwas schwieriger zu sehen ist, dass auch b = 1 und a = +-r die Gleichung lösen.

Als Einheiten habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} 1+0*\sqrt{r^2-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)+0*\sqrt{r^2-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r + 1*\sqrt{r^2-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-r)+1*\sqrt{r^2-1} \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich mit der Gleichung nicht. Ich kann die ja nicht einfach nach a oder nach b auflösen. Hier bin ich also jetzt anders vorgegangen. Einheiten bilden ja einen Ring. Wenn ich zwei Einheiten oder eine Einheit mit sich selbst multipliziere, bekomme ich also wieder eine Einheit.

Damit habe ich unendlich viele Einheiten gefunden.

Danke für die Hilfe, auch wenn ich mich manchmal dümmer anstelle, als ich eigentlich bin Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

Ich quadriere also $\begin{eqnarray*} (r + 1*\sqrt{r^2-1})^2 = r^2+2*r*\sqrt{r^2-1}+r^2-1 \end{eqnarray*}$
Dabei gilt $\begin{eqnarray*} r^2-1 \geq 3 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-1} \geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Also ist das Quadrat der Einheit größer als die Einheit und größer als 1. Ich kann das also immer weiter quadrieren und erhalte immer neue Einheiten
$\begin{eqnarray*} (r + 1*\sqrt{r^2-1}), (r + 1*\sqrt{r^2-1})^2, (r + 1*\sqrt{r^2-1})^3, (r + 1*\sqrt{r^2-1})^4..... \end{eqnarray*}$

Damit habe ich unendlich viele Einheiten gefunden.

Danke für die tolle Hilfe, auch wenn ich manchmal etwas viele Flüchtigkeitsfehler mache.

17.09.2014, 11:55

tmo

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Wegen den unendlich vielen Einheiten: Die Einheiten bilden eine Untergruppe von $\begin{align*} \mathbb C^* \end{align*}$ , sobald da eine einzige Einheit ist, die keine Einheitswurzel ist, hat die automatisch unendliche Ordnung, und dann gibt es unendlich viele Einheiten.

So ist die Argumentation etwas leichter.

17.09.2014, 13:43

MartinL

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Stimmt, das hätte die Argumentation verkürzt. Ich hab mal weiter gemacht. Ich befinde mich wieder in diesem Ring:

Zeigen sie, dass es in dem Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] := \{a+b\sqrt{-5} | a,b \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ nur die Einheiten $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ gibt.

Jetzt soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 3, (2+\sqrt{-5}), (-2+\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ irreduzible Elemente im Ring sind.

Ich habe es wieder über die Norm gelöst. Angenommen $\begin{eqnarray*} xy=3 \Rightarrow N(xy) = N(3) = 9 = N(x)*N(y) \end{eqnarray*}$
Seien jetzt x und y zwei beliebige Elemente aus dem Ring, dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} N(x)*N(y) = (a^2+5b^2)(c^2+5d^2) = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow a^2c^2+5b^2c^2+5a^2d^2+25b^2d^2 = 9 \end{eqnarray*}$

Da jeder Summand positiv ist und die Summe maximal 9 sein darf, muss von den mittleren beiden Summanden schon mal einer mindestens verschwinden.
Es muss also gelten: $\begin{eqnarray*} b^2c^2 = -a^2d^2 \Rightarrow b^2c^2 = a^2d^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2c^2+25b^2d^2 = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b^2d^2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2c^2 = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ac = 3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a = 3, c=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a = 1, c=3 \end{eqnarray*}$
Da die Wurzel gezogen wurde, gibt es auch noch die Lösungen $\begin{eqnarray*} a = -3, c=-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a = -1, c=-3 \end{eqnarray*}$

Mit der Bedingung von oben $\begin{eqnarray*} b^2c^2 = a^2d^2 = 0 \end{eqnarray*}$ sieht man, da a und c nicht 0 sind, dass b und d beide 0 sind. Damit ist auf jeden Fall ein Element eine Einheit und somit 3 irreduzibel.

Glücklicherweise muss man sich die ganze Arbeit jetzt nicht noch mal machen. Es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} N(2+\sqrt{-5}) = N((-2)+\sqrt{-5}) = 9 \Rightarrow N(x)N(y) = 9 \end{eqnarray*}$ Damit greift die Argumentation von oben und ich denke, dass ich fertig bin.

Gruß
Martin

17.09.2014, 16:22

shipwater

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War für mich jetzt nicht alles nachvollziehbar was du gemacht hast.

Beachte doch einfach, dass $\begin{eqnarray*} N\left(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\right) \subseteq \mathbb{N}_0\setminus{\{3\}} \end{eqnarray*}$ dann impliziert $\begin{eqnarray*} N(x) \cdot N(y)=9 \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} \{N(x),N(y)\}=\{1,9\} \end{eqnarray*}$ also x oder y Einheit.

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