Beweis der Unabhängigkeit

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akazia Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Unabhängigkeit
Meine Frage:
wie zeige ich, dass die Wahrscheinlichkeit P(A ? B|D) =P(A|D)*P(B|D) wenn A und B unabhängig? D.h. wenn gilt P(A?B)=P(A)*P(B). Ist es überhaupt möglich? Es wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte.

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MatheMaster_93 Auf diesen Beitrag antworten »

ist das Fragezeichen der Durchschnitt?

So ist doch die Unabhängigkeit definiert.
akazia Auf diesen Beitrag antworten »

Ups. Ja, es ist Durchschnitt gemeint. Habe es gar nicht gemerkt, bin erstes Mal hier. Danke für den Hinweis.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

I.a. folgt aus der Unabhängigkeit von nicht deren bedingte Unabhängigkeit

,

wenn man an (in Relation zu ) überhaupt keine Forderungen stellt. unglücklich


Folgendes einfache Gegenbeispiel möge dies illustrieren: Nehmen wir einen Wurf mit einem ungezinkten Tetraeder, d.h. als Gleichverteilung auf . und betrachten dazu die Ereignisse

, .

Dann sind angesichts die Ereignisse A,B unabhängig.


Nun nehmen wir hinzu. Dann ist





,

d.h. es ist . Es sei noch bemerkt, dass bei diesem Beispiel zusätzlich sowohl A,D als auch B,D unabhängig sind - allerdings sind A,B,D in ihrer Gesamtheit hier nicht unabhängig.
akazia Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort, es hat mir weitergeholfen. Habe noch weitere Überlegungen gemacht. Ich habe herausgefunden, dass die Gleichung für bestimmte D gelten würde: D={A,B, ,Komplement von } Ist denn meine Überlegung richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für die vier stimmt es.

Letzteres mit kann man deutlich weiter fassen:

Es gilt sowohl für alle als auch alle , denn im ersten Fall ist , im zweiten Fall , was natürlich die bedingte Unabhängigkeit bzgl. sichert - übrigens sogar auch dann, wenn selbst nicht unabhängig sind.
 
 
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