euler-fermat beispiel

15.09.2014, 20:36

0664jester

euler-fermat beispiel

Hallo,

Ich hänge bei folgender Aufgabe:

geg.: x $\begin{eqnarray*} \equiv2^{2014^{2014}} \end{eqnarray*}$ mod 35

phi(35) = (5-1)*(7-1) = 24
phi(24) = 8

$\begin{eqnarray*} 2014^{2014} \equiv2014^{(8*251+6)} \end{eqnarray*}$ mod 8 // $\begin{eqnarray*} 2014^{(8*251)} \end{eqnarray*}$ fällt weg!!

nun habe ich:
$\begin{eqnarray*} 2014^{6} \end{eqnarray*}$ mod 8 //wie geht es hier weiter?

Gruß,
jester

15.09.2014, 20:49

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RE: euler-fermat beispiel
$\begin{align*} 2014 \bmod 8 \end{align*}$ kann man im Kopf ausrechnen smile

15.09.2014, 20:58

0664jester

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RE: euler-fermat beispiel
mhm... verstehe deine anspielung nicht ganz.

also:
$\begin{eqnarray*} 6^6\equiv 2014^6 mod 8 \end{eqnarray*}$

15.09.2014, 21:02

0664jester

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RE: euler-fermat beispiel

Zitat:

Original von 0664jester
mhm... verstehe deine anspielung nicht ganz.

also:
$\begin{eqnarray*} 6^6\equiv 2014^6 mod 8 \end{eqnarray*}$

Das is Blödsinn!

so gehörts:
$\begin{eqnarray*} 22^6\equiv 2014^6 mod 24 \end{eqnarray*}$ [/quote]

15.09.2014, 21:50

RavenOnJ

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RE: euler-fermat beispiel

Zitat:

Original von 0664jester
mhm... verstehe deine anspielung nicht ganz.

also:
$\begin{eqnarray*} 6^6\equiv 2014^6 mod 8 \end{eqnarray*}$

hi,
2014 ist gerade. Vielleicht klickt's dann.

15.09.2014, 22:28

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RE: euler-fermat beispiel
$\begin{eqnarray*} 22^6 mod 24 \end{eqnarray*}$ ... klingt plausibel.
Das bekommst du mit $\begin{eqnarray*} 22 \equiv -2 \bmod 24 \end{eqnarray*}$ in den Griff

17.09.2014, 19:36

0664jester

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RE: euler-fermat beispiel

Zitat:

Original von RavenOnJ
hi,
2014 ist gerade. Vielleicht klickt's dann.

sowie Url dann sagt:
$\begin{eqnarray*} 22 \equiv -2 \bmod 24 \end{eqnarray*}$

Ich kann 24 einfach abziehen bis -2 da steht.

Kannst das näher erläutern? Ganz habe ich es nicht geschnallt?
Was is wenn es ungerade ist?

21.09.2014, 14:44

0664jester

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RE: euler-fermat beispiel
[attach]35447[/attach]

Ich hoffe das stimmt so und für alle die nach mir kommen, auch das hier finden.

Edit(Helferlein): Vorherigen Beitrag auf Userwunsch gelöscht. Außerdem Externen Bilder-Verweis entfernt und durch direkten Upload ersetzt. Bitte nutze für Bilder die "Dateianhänge"-Funktion des Boards.

21.09.2014, 15:00

HAL 9000

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Anmerkung: Es bringt vermutlich keine große Vereinfachung, aber bei Nutzung der Carmichael-Funktion $\begin{align*} \lambda(35) = \operatorname{kgV}(5-1,7-1)=12 \end{align*}$ hat man bereits

$\begin{align*} 2^a \equiv 2^b \bmod 35 \end{align*}$ für $\begin{align*} a\equiv b\bmod 12 \end{align*}$

d.h. mit Modul 12 statt die 24 von der $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ -Funktion.

22.09.2014, 06:40

0664jester

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[attach]35449[/attach]

22.09.2014, 08:15

HAL 9000

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Ich hätte es so fortgeführt:

Das 2014 durch 2 teilbar ist, gilt offenbar $\begin{align*} 2014^{2014}\equiv 0\bmod 4 \end{align*}$ , außerdem ist $\begin{align*} 2014^{2014}\equiv 1^{2014} \equiv 1\bmod 3 \end{align*}$ , macht kombiniert (Chinesischer Restsatz) dann $\begin{align*} 2014^{2014}\equiv 4\bmod 12 \end{align*}$ . Gemäß meinem letzten Beitrag ist dann

$\begin{align*} 2^{2014^{2014}}\equiv 2^4 = 16 \bmod 35 \end{align*}$ .

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