Norm einer linearen Abbildung berechnen

16.09.2014, 08:49

matheundeineis

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Norm einer linearen Abbildung berechnen

Hallo,

ich hab schon im Internet und im Vorlesungsskript danach gesucht - aber ich verstehe es einfach nicht..
Wie berechnet man die Norm einer linearen Abbildung?

Hier ist eine Beispielaufgabe:

E,F sind reelle Banachräume und T: E->F sei eine stetige lineare Abbildung

Berechnen Sie die Norm der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} (x+y) -> x+y \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Wie geht man überhaupt als erste vor?
Ich würde gerne mit eurer Hilfe ein Ergebnis erarbeiten!

Vielen Dank schon mal.

16.09.2014, 10:14

klarsoweit

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RE: Norm einer linearen Abbildung berechnen
Zum einen scheint mir die Abbildung nicht ordentlich definiert zu sein, zum anderen: wie ist denn die Norm einer linearen Abbildung definiert?

Und ab damit in den Hochschulbereich.

16.09.2014, 10:14

matheundeineis

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Falsches Forum - Sorry! Bitte verschieben.

16.09.2014, 10:15

klarsoweit

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Nicht nötig. Jetzt paßt es doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2014, 10:24

matheundeineis

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Danke für die schnelle Reaktion! Freude

Freude

Die Definition lautet doch:

Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} || * || : X -> [0,unendlich) \end{eqnarray*}$ heißt Norm auf X, wenn für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ X, a $\begin{eqnarray*} \in C \end{eqnarray*}$
1) ||x||=0 <=> x=0
2) ||ax|| = |a|||x||
3) ||x+y|| <= ||x|| + ||y||

Mehr Informationen zur Berechnung der Norm habe ich leider nicht gegeben Erstaunt1

Erstaunt1

16.09.2014, 11:52

klarsoweit

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Das ist jetzt die grundsätzliche Definition der Norm. Was noch fehlt, ist die Definition der Norm einer linearen Abbildung.

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16.09.2014, 12:05

matheundeineis

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War es das mit Supremum?

'Für eine lineare Abbildung T:E -> F definiert man:

[attach]35383[/attach]

Ist das die richtige Definition für eine lineare Abbildung?

16.09.2014, 12:06

klarsoweit

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Ja, das ist die richtige Definition für die Norm einer linearer Abbildung. smile

smile

16.09.2014, 12:26

matheundeineis

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Genau! Norm einer linearen Abbildung Big Laugh

Big Laugh

Gut, also ich habe nun die Definition, meine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Norm (x+y) -> x+y

Stupides Einsetzen bringt mich aber nicht weit, denke ich:

||x+y|| = sup (x,y) (x+y) ...

Wie gehe ich denn jetzt vor?

16.09.2014, 13:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheundeineis
Gut, also ich habe nun die Definition, meine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Norm (x+y) -> x+y

Hm. Mir scheint, hier geht was durcheinander. Wie ist denn nun die Abbildung und wie ist die hier verwendete Norm definiert?

16.09.2014, 14:04

matheundeineis

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Also meiner Meinung nach ist die Abbildung folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

und die Form der Norm:

x+y

Oder verstehe ich das komplett falsch? unglücklich

unglücklich

16.09.2014, 14:29

klarsoweit

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Dazu kann ich erst was sagen, wenn du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut postest. Allerdings kann eine Abbildung, die (x,y) auf x+y abbildet, keine Norm sein, weil die Abbildung auch negative Werte haben kann, was ja mit einer Norm unverträglich ist.

16.09.2014, 14:44

matheundeineis

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Die komplette Aufgabe im original Wortlaut lautet:

Seien E,F reelle Banachräume und T:E->F sei eine stetige lineare Abbildung:

Berechen Sie die Norm der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die durch (x,y) -> x+y gegeben ist.

Mehr Informationen gibt es dazu nicht..

16.09.2014, 16:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheundeineis
Gut, also ich habe nun die Definition, meine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Norm (x+y) -> x+y

Auch von dem Schreibfehler "(x+y) -> x+y" statt des nunmehr korrigierten "(x,y) -> x+y" mal abgesehen, ist das eine fürchterliche Fehldeutung:

$\begin{align*} (x,y)\mapsto x+y \end{align*}$ ist nicht die Norm, sondern die konkrete lineare Abbildung(svorschrift). Die Norm ist so definiert, wie du es oben (12:05) bereits getan hast.

16.09.2014, 16:33

matheundeineis

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Oh - das mit dem Fehler ist doof! Es soll natürlich (x,y) -> x+y heißen. Sorry

Ok - also die Definition der Norm, die lineare Abbildungsvorschrift und die lineare Abbildung habe ich.

Wie genau berechnet man denn nun so eine Norm?

17.09.2014, 08:25

klarsoweit

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Nutze die Definition der Norm. (Siehe deinen Beitrag von gestern 12:05.)

17.09.2014, 17:16

matheundeineis

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Ok ein Versuch! Ups

Ups

Dadurch, das die Abbildung ja lautet:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

Gehe ich davon aus, das meine Norm so aussieht:

||T||= sup (||x||=1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+y} \end{eqnarray*}$

Falsch interpretiert? - ich bin mir nämlich ziemlich unsicher.

18.09.2014, 10:56

klarsoweit

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+y} \end{eqnarray*}$ eine Norm sein? Der Ausdruck ist ja nicht einmal für alle x,y definiert. Du solltest dir wirklich mal gründlich überlegen, welche Norm zu verwenden ist. Entweder ist die in der Aufgabe vorgegeben oder es wird typischerweise die euklidische Norm genommen. Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist diese identisch mit der Betragsfunktion.

Außerdem vermengst du Bedeutungen von Variablen. Das x in ||x|| hat eine andere Bedeutung als das x unter der Wurzel.

19.09.2014, 21:41

matheundeineis

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Ach quatsch - das ergibt ja überhaupt keinen Sinn.. unglücklich

unglücklich

Also - die euklidische Norm eines Vektors ist ja folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} |v^{->}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$

Heißt also, der Betrag von 'x+y' muss berechnet werden?

||T|| = sup(||x||=1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich kann das einfach nicht wirklich nachvollziehen... Ich habe hier eine Bsp.Aufgabe, aber die hilft mir auch nicht wirklich.

Berechnet werden soll eine Norm der linearen Abbildung (x,y) -> (2x,3y)

||T|| = sup(||x||=1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4x^{2}+9^{2}} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ists ja trivial über die euklidische Norm...

Aber dann wird folgendes gerechnet:

= sup(||x||=1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4x^{2}+4y^{2}+5y^{2}} \end{eqnarray*}$
= sup(||x||=1) $\begin{eqnarray*} \sqrt{4x+5y^{2}} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \sqrt{9} = 3 \end{eqnarray*}$

Wie kann man das verstehen?? Wieso wird aus 4+5y^2 = wurzel 9? verschwindet das y einfach? verwirrt

verwirrt

19.09.2014, 22:21

matheundeineis

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Wobei - da ich ja nicht die Norm von x,y berechnen soll, sondern von x+y wäre mein Norm doch:

||T||=sup(||x||=1) = |x+y|

Oder nicht? verwirrt

verwirrt

19.09.2014, 23:27

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Das letzte Gleichheitszeichen gehört da nicht hin. Außerdem musst du noch über das auftretende x nachdenken.
$\begin{align*} ||T||=sup_{||\textcolor{red}{x}||=1} |\textcolor{red}{x}+y| \end{align*}$
Du musst das Supremum über die Einheitsspäre des $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ bilden. Es muss also das y noch auftauchen.

20.09.2014, 16:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheundeineis
Heißt also, der Betrag von 'x+y' muss berechnet werden?

Ja. Um das, was matheundeineis geschrieben hat, nochmal in Worte zu fassen:
Du mußt das Supremum von |x+y| bilden, wobei nur Vektoren (x,y) betrachtet werden, bei denen $\begin{eqnarray*} ||(x,y)|| = \sqrt{x^2+y^2} = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

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