Gleichungssysteme

16.09.2014, 09:56

u44tmp

Gleichungssysteme

Hi an alle!

Ich habe eine alte Klausuraufgabe, jedoch weiß ich nicht, wie man diese angeht.

Von den drei reellen Zahlen x,y,z ist bekannt, dass x+3y+7z=14 und x+4y+9z=17

(1) Bestimme, wenn möglich, a:=x+y+3z und b:=2x+6y-z
(2) Unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass alle drei Zahlen positiv und ganz sind, lassen sich x,y,z eindeutig bestimmen. Finde die drei Werte.

Wie muss man hier vorgehen? Ich habe den Ansatz bekommen, dass manbei (1) die beiden oberen Gleichungen (Aufgabenstellung) als Linearkombination schreibt und sie mit a gleichsetzt. Dann erhält man als Ergebnis c*14+d*17. Beim Gleichsetzen mit b erfolgt ein Widerspruch. Ich habe aber keine Ahnung wie das funktionieren soll.

16.09.2014, 23:25

mYthos

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Das Ziel der Aufgabe ist unverständlich, desgleichen auch, wie das Ergebnis a = 14c + 17d zustandekommen soll.
Löst man die beiden Gleichungen nach x, y, z auf, muss man wegen der fehlenden Gleichung einen Parameter (t) einführen, damit können x, y, z als einparametrige Lösungsschar angegeben werden.
Geometrisch ist das die Schnittgerade von zwei Ebenen.
Das einzige natürliche Tripel kann danach leicht ermittelt werden (4; 1; 1).

Auch der Wert für a bzw. b ist mittels des Parameters festgelegt und es gibt dabei auch keinen Widerspruch.
Falls die Angabe anders gemeint ist, muss das noch näher / besser präzisiert werden.

mY+

16.09.2014, 23:47

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Wobei der Wert von a tatsächlich unabhängig vom Parameter ist, weil (1,1,3) auf der Schnittgeraden senkrecht steht.

17.09.2014, 00:06

mYthos

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.. ja, so ist es, deswegen ist a = 8
Daher ist ... Ergebnis c*14+d*17 ... für a noch unverständlicher.
b ist dann mit einem Parameter behaftet. Widerspruch sehe ich allerdings dazu keinen.

17.09.2014, 00:17

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Ich denke, die Idee war folgende:
Man schreibt die Ausgangsgleichungen als Skalarprodukte $\begin{eqnarray*} p\cdot u_1=14,p\cdot u_2=17 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=(x,y,z)^T \end{eqnarray*}$ und passenden $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} p\cdot (cu_1+du_2 )=c14+d17 \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} a=c14+d17 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} cu_1+du_2= (1,1,3)^T \end{eqnarray*}$
Dieses System kann man nach c,d auflösen.
Bei b ergibt sich "ein Widerspruch" zwischen zwei Gleichungen, sprich das System ist schlicht nicht lösbar.

17.09.2014, 02:06

mYthos

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Ja, so ist es klar, mit c = 3 und d = -2 gibt es eine eindeutige Lösung des Systems und wiederum ist a = 8.
Bei b) ist das System nicht lösbar (überbestimmt mit Widerspruch)

mY+

17.09.2014, 21:37

u44tmp

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@ URL:
genau das soll der Ansatz sein. Könntest du deinen letzten Post nochmal ausführlicher schreiben? Ich blicke da nicht ganz durch.

Im Prinzip wurde mir gesagt, dass man die beiden Gleichungen als Linearkombination schreiben kann wie folgt:

c*(1,3,7)+d*(1,4,9)=(1,1,3)
dazu wird dies dann mit einem c und einem d multipliziert, und wohl das Ergebnis der Gleichungen eingesetzt:

c*14+d*17=(1,1,3)

Macht man diesen Versuch bei der Gleichung b, so führt das zu einem Widerspruch, da man keine solchen c und d finden kann. Nur verstehe ich ab hier nicht wie man nach c und d auflösen soll. Löse ich z.B. nach c auf, hängt mein Ergebnis von den Variablen d,x,y und z ab!

Wenn man die Gleichungen nach x,y und z auflöst, dann kommt man bei der ersten Gleichung auf das Ergebnis 8 und bei der zweiten auf ein Ergebnis abhängig von der Variable t (ist das hier schon der Widerspruch, da keine eindeutige Lösung?).

Wie ist das System denn dann eindeutig lösbar, wenn die Zahlen ganz und positiv sind? Ich habe das mit "probieren" versucht und komme auf eine Lösung, jedoch denke ich nicht, dass das Sinn der Sache ist.

18.09.2014, 18:54

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Mir ist jetzt nicht klar, wie weit du meinen Post verstanden hast geschockt

Zitat:

Original von u44tmp
c*14+d*17=(1,1,3)

Diese Gleichung kann gar nicht richtig sein. Links steht eine Zahl, rechts ein Vektor des R^3. Das richtige LGS steht unten

Zitat:

Wenn man die Gleichungen nach x,y und z auflöst, dann kommt man bei der ersten Gleichung auf das Ergebnis 8 und bei der zweiten auf ein Ergebnis abhängig von der Variable t (ist das hier schon der Widerspruch, da keine eindeutige Lösung?).

Es sind zwei verschiedene Fragestellungen:
Kann man aus den gegebenen Informationen a berechnen? (Ja, kann man; geht man wie vorgeschlagen an die Aufgabe heran, bekommt man ein lösbares LGS; das LGS steht unten)
Kann man aus den gegebenen Informationen b berechnen? (Nein, kann man nicht; das bei dieser Fragestellung auftretende LGS ist nicht lösbar; es ergibt sich ein Widerspruch, wenn du das LGS auflösen willst (überbestimmtes LGS mit Widerspruch, wie mYthos schon sagte)). Aber klammer dich nicht so sehr an den Begriff Widerspruch, der führt hier vielleicht mehr in die Irre als er nützt. Letztlich geht es darum, dass du nicht genug Informationen hast, um b zu berechnen. Und auf dem Weg bist du ja schon selbst, wenn du erkannt hast, dass das Ergebnis von der Variable t abhängt.

In der ersten Fragestellung ist das LGS $\begin{eqnarray*} cu_1+du_2= (1,1,3)^T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u_1=(1,3,7)^T, u_2=(1,4,9)^T \end{eqnarray*}$ zu lösen. Wenn c und d dieses LGS lösen, dann ist $\begin{eqnarray*} a=c14+d17 \end{eqnarray*}$ .
In der zweiten ist es $\begin{eqnarray*} cu_1+du_2= (2,6,-1)^T \end{eqnarray*}$

Edit: Um den Fall der eindeutigen Lösung würde ich mich später kümmern, sonst wird das hier zu unübersichtlich.

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