Drei exponentialverteilte Zufallsvariablen |
| 16.09.2014, 12:51 | Ecoli | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Drei exponentialverteilte Zufallsvariablen Hallo liebe Community, ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher: Ich habe drei Zufallsvariablen X_i , i = 1, 2, 3 welche unabhängig und zum Parameter i exponentialverteilt sind. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit: P(max(X_3, min(X_1, X_2)) > 1). Meine Ideen: Meine Idee, von der ich mir nicht sicher bin, ist folgende: Ich fasse das ganze, um die Rechnung überschaubar zu halten, zunächst als zweistufiges Experiment auf. In der ersten Stufe steht min(X_1, X_2) und auf der zweiten Stufe steht X_3. Da sich die möglichen Ereignisse alle gegenseitig ausschließen, gilt: A:= P(max(X_3, min(X_1, X_2)) >1) = 1 - P(min(X_1, X_2) < 1, X_3 < 1). Und da die X_i unabhängig sind, folgt A = 1 - P(min(X_1, X_2) < 1)*P(X_3 < 1). Jetzt zerlege ich nochmal Z := min(X_1, X_2) in zwei Stufen. Es gilt P(Z) = 1 - P(X_1 > 1)*P(X_2 > 1). Damit ergibt sich dann also: A = 1- P(Z)*P(X_3 < 1). Mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung gilt: A = 1-(1-exp(-3))+(1-(1-exp(-1)))*(1-(1-exp(-2)))*(1-exp(-3)) = exp(-3)*(2-exp(-3)) = 0,097. Habe ich da irgendetwas übersehen? Kann ich überhaupt so vorgehen? Besten Dank für eure Hilfe. |
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| 16.09.2014, 13:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das Vorgehen ist durchaus korrekt und richtig durchdacht. 
Nur ein kleiner "symbolischer" Einwand: ist die Definition einer Zufallsgröße. Was du hier aber meinst, und womit du auch im weiteren rechnest, ist das Ereignis . P.S.: Deine konkrete Rechnung am Ende sieht etwas unübersichtlich aus, hast wohl z.T. schon ausgeklammert ... jedenfalls kommt aber das richtige Ergebnis raus.
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