Aufgabe zu ML-Schätzer richtig gerechnet?

16.09.2014, 16:28	VicFird	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu ML-Schätzer richtig gerechnet? Meine Frage: Hi Leute, danke schon mal für die hilfe Ich habe hier diese Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_1,...X_n \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängige und identisch verteilt mit $\begin{eqnarray} P\left(X_1 = k\right)=p\left(1-p\right)^k , k \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ Bestimmen sie (für eine Stichprobenergebnis $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ ) den Maximum-Likelihood-Schätzer für p Meine Ideen: Da ich eine unabhängige und identisch verteilte Stichprobe habe ist die Likelihood-Funktion gegeben durch: $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^{n}p\left(1-p\right)^k \end{eqnarray}$ das ausgerechnet wäre jetzt $\begin{eqnarray} p^n\left(1-p\right)^{\sum^n_{i=1} x_i}, z =\sum^n_{i=1} x_i \end{eqnarray}$ nach meinem Verständnis muss ich diese Funktion jetzt maximieren also ableiten abgeleitet mit produkt und kettenregel komm ich auf $\begin{eqnarray} np^{n-1}\left(1-p\right)^{z}+p^n\left(-z\left(1-p\right)^{z-1}\right) \end{eqnarray}$ das habe ich umgeformt in $\begin{eqnarray} p^{n-1}\left(1-p\right)^{z-1}\left(n\left(1-p\right)-zp\right) \end{eqnarray}$ das ganze habe ich gleich 0 gesetzt da $\begin{eqnarray} p \in \left(0,1\right) \end{eqnarray}$ ist gilt: $\begin{eqnarray} p^{n-1}\left(1-p\right)^{z-1}\left(n\left(1-p\right)-zp\right) = 0 <br /> \Leftrightarrow<br /> \left(n\left(1-p\right)-zp\right)=0<br /> \end{eqnarray}$ das nach p gelöst ergibt : $\begin{eqnarray} <br /> p=\frac{n}{z+n} = \frac{n}{\sum^n_{i=1} x_i +n}<br /> \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe ist das doch jetzt der ML-Schätzer für p oder?
16.09.2014, 17:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig. Mit Stichprobenmittelwert $\begin{align} \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{align}$ kann man das auch kurz schreiben als $\begin{align} \hat{p} = \frac{1}{\bar{x}+1} \end{align}$ (ich schreibe $\begin{align} \hat{p} \end{align}$ , denn es ist ja nur der ML-Schätzer für $\begin{align} p \end{align}$ ). P.S.: ML-Anwendungsfälle wie der eben zeigen die Nützlichkeit, manchmal statt der Likelihoodfunktion die Log-Likelihoodfunktion zu verwenden: $\begin{align} LL(p) = \ln\left( p^n (1-p)^z \right) = n\ln(p) + z\ln(1-p) \end{align}$ Deren Ableitung gestaltet sich entspannter: $\begin{align} LL'(p) = \frac{n}{p} - \frac{z}{1-p} \end{align}$ , was bei deren Nullstellenbestimmung wieder auf $\begin{align} n(1-p)-zp=0 \end{align}$ und dem von dir ermittelten Resultat hinausläuft.
16.09.2014, 17:32	VicFird	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ja stimmt hast recht , danke für die schnelle Antwort. das mit dem log muss ich mir merken /threat

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