Umkehrbarkeit einer Funktion

16.09.2014, 18:36	nordface	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrbarkeit einer Funktion Hallo, ich hätte eine Frage bzgl einer Funktion bzw. die Verifizierung meines Ergebnisses dazu: $\begin{eqnarray} f:x\Rightarrow \sqrt{4-2x}-1 \end{eqnarray}$ Ich soll diese Funktion auf Umkehrbarkeit prüfen und wenn möglich die Umkehrfunktion finden (ebenfalls skizzieren in einem geeigneten Intervall) Das Skizzieren spare ich mir mal, aber es wird deutlich, dass sich die Funktion nur in folgendem Intervall reell ist $\begin{eqnarray} \left\{ x\in \mathbb R \| x\leq 2\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left\{ y\in \mathbb R \| y\geq -1\right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt also von diesem Intervall ausgehe ist die Funktion bijektiv und damit umkehrbar. Da ja nichts anderes vorher definiert wurde, muss ich davon doch eigentlich ausgehen oder?
16.09.2014, 20:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sicher, es ist möglich. Und wie berechnest du jetzt die Umkehrfunktion? Hinweis: Vertausche die Variablen x, y (y entspricht f) und stelle wieder nach y um. Naturgemäß ist auch die Definitionsmenge mit der Bildmenge zu vertauschen. Rot: f Grün: f* Blau: 1. Mediane (Symmetrieachse bei f und f*) mY+
16.09.2014, 21:47	nordface	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für die Antwort. Wie ich die Umkehrfunktion bestimme weiß ich: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}x^2-x-\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Was mich nur verwirrt ist,dass die Aufgabenstellung fragt ob eine Umkehrfunktion möglich ist, was ja zwangsweise gegeben ist wenn der Intervall selbst bestimmt wird.
17.09.2014, 00:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen Rechen-(Vorzeichen-)fehler, denn deine Umkehrfunktion stimmt so nicht. Ausserdem muss auch dazu die Definitionsmenge angegeben werden. ------ Grundsätzlich sind nur bijektive Funktionen umkehrbar. Von Vornherein hat die gegebene Funktion nicht immer diese Eigenschaft und ist dann nicht umkehrbar. Die Einschränkung der Definitions- bzw. Bildmenge kann ein Weg sein, dennoch zu einer Umkehrfunktion in einem bestimmten Bereich oder in getrennten Intervallen zu mehreren einzelnen eindeutigen Relationen --> Funktionen zu kommen. mY+

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