Polynom mit vier Punkten bestimmen |
| 16.09.2014, 20:36 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Polynom mit vier Punkten bestimmen übe aktuell daheim Mathematik. bei einer Aufgabe bin ich mir nicht sicher wie ich die lösen kann. Habe die Grafik mal hochgeladen. Meine idee. Ich habe ja vier Punkte gegeben. Einer wird direkt genannt und drei weitere kann ich ja ablesen. Ich könnte alle vier Punkte in die normalform einsetzen. D fällt ja bereits weg. Dann hätte ich bei vier Punkten vier Gleichungen. Wenn ich diese bestimme, müsste a, b und c bekannt sein. Stimmt meine Idee? Danke! Viele Grüße Lara |
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| 16.09.2014, 20:51 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du beschreibst eine korrekte Vorgehensweise. Tatsächlich befindest du dich hier jedoch in einer sehr komfortablen Situation. Nämlich kennst du alle Nullstellen der Funktion, was gerade genug sind um eine Funktion dritten Grades zu rekonstruieren. Nämlich 4 Stück. Welche? Und warum wird die Berechnung dadurch ziemlich banal? |
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| 16.09.2014, 21:01 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gmasterflash, danke für die schnelle antwort. Kann fir gerade nicht ganz folgen. Also ich kenne folgende Nullstellen: N1(-2.5|0) N2(-1|0) N1(0|0) Ich hoffen wir meinen das gleiche. Dadurch das die Funktion durch den Ursprung geht, fällt laut Lehrerin die letzte Variable (d) weg. Daher habe ich nur noch vier Unbekannte und zugleich 4 Bekannte Punkte? |
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| 16.09.2014, 21:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du beschreibst das richtige. Zu erst einmal ist die "Normalform" wie du es nennst, einer Funktion dritten Grades ja Und weil die Funktion durch den Ursprung geht ist d=0 Dies gibt ja immer den Schnittpunkt mit der y-Achse an. Im Endeffekt hätten wir also folgende Gleichung Hier geht jedoch der Punkt (0|0) von dir ein. Du hast also nur noch N1 und N2 zur Verfügung und bräuchtest nun noch einen Punkt um dieses LGS aufzustellen und zu lösen. Es geht aber noch bedeutend einfacher. Was ist denn noch im Nullpunkt so alles los? |
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| 16.09.2014, 21:14 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Nullpunkt gibt es eine dreifache Nullstelle? |
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| 16.09.2014, 21:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ob es eine dreifache Nullstelle ist können wir nicht sagen. Da müssten wir raten. Mit Gewissheit können wir aber sagen, dass es eine doppelte Nullstelle für x=0 gibt. Mir fällt aber gerade ein kleines Problem auf. Denn eigentlich würden wir eine Funktion vierten Grades konstruieren, da das Schaubild der Funktion auch nicht zu einer Funktion mit ungeradem Grad passt, auch wenn wir natürlich nur einen kleinen Ausschnitt vorliegen haben. Wir müssten also den Ansatz wählen, wovon wir wissen, dass e=0 ist was wieder die Bedingung N1 (0|0) verbraucht. Der Punkt ist, dass die Lösung die ich im Sinn habe man in 30 Sekunden hinschreibt, wenn man natürlich vorher darüber nachgedacht hat, wobei ich davon ausgehe, dass dir dieser Weg bisher unbekannt ist, auch wenn du ihn unbewusst schon öfters benutzt hast, nur in einem anderen Kontext. Damit meine ich, dass dir die Methode bekannt ist. Jedenfalls ist ein LGS mit 4 verbleibenden Gleichungen natürlich etwas ekeliger... Außerdem bräuchten wir nun noch zwei weitere Bedingungen. Wir können ja zu erst das LGS aufstellen und lösen, und dann die alternative Lösung noch einmal besprechen. |
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| 16.09.2014, 21:33 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen dank, für deine Antwort. Also wir haben das in der Schule eigentlich immer wie folgt gemacht: Einfach die bekannten Punkte eingesetzt, Gleichungen aufgestellt, mit einer Matrix via GTR ausgerechnet und dann hatte man sehr schnell die Unbekannten. Leider ist das zwei Jahre her und ich bin mir nicht mehr sicher. Ich habe ja dann vier Unbekannte und drei bekannte Punkte (eine Nullstelle fällt ja weg, da verbraucht). Damit kann ich das ganze ja nicht lösen...? |
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| 16.09.2014, 21:34 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, wir können noch zwei weitere Punkte bestimmen. Das sind dann aber Punkte die sich auf andere Eigenschaften berufen. Bisher haben wir ja nur f betrachtet. Die Ableitung f ' ist aber auch sehr hilfreich. |
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| 16.09.2014, 21:36 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ableiten haben wir in der Schule noch nicht... Daher müsste ich da einen anderen weg wählen... |
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| 16.09.2014, 21:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann ich kaum glauben. Sowas hängt doch stark mit Kurvendiskussion zusammen. Ableitungen sind für solche Aufgaben meistens unausweichlich. Dann bleibt dir ja fast nur der Weg den ich die ganze Zeit im Sinn habe. Denn der kommt ohne Ableitungen aus. Aber dir ist echt nicht sowas bekannt wie Oder wie man Extrempunkte und Wendepunkte berechnen kann? |
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| 16.09.2014, 21:58 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir hatten definitiv noch keine Ableitungen. Kommt erst in paar Wochen... |
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| 16.09.2014, 22:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat deine Lehrerin zu der Aufgabe sonst noch irgendwas gesagt? Denn 5 Punkte abzulesen halte ich für ziemlich ungenau. Also 4 würden ja noch gehen. Die ganzen Nullstellen und den Punkt (-2|-4). Dann müssen wir es eben auf dem alternativen Lösungsweg machen. Dazu brauchen wir die ganzen Nullstellen, wovon ja (0|0) eine doppelte ist. Da dies auch ein Berührpunkt mit der x-Achse ist. Hast du eine Idee wie uns das hilft? |
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| 16.09.2014, 22:20 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gmasterflash, ich habe gerade ehrlich gesagt keine Idee. Die Lehrerin hat uns das wortlos in die Hand gegeben. Ich habe also keine weiteren Ansätze. Ich werde morgen mal fragen. Würde mich freuen, wenn du eventuell noch deinen Ansatz nennst. Ich würde mich dann morgen mit hoffentlich neuen Erkenntnissen melden. Ich sage schon mal vielen lieben Dank, echt super wie du geholfen hast 
Liebe Grüße Lara |
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| 16.09.2014, 22:34 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es basiert auf die Zerlegung in Linearfaktoren, welche man hier so gut ablesen kann, da man die Nullstellen kennt. Das sagt dir nichts? Du irrst, lass es mich erklären. Die meisten Funktionen bzw. Polynome kann man in Linearfaktoren zerlegen. Zum Beispiel: Möchte man hier die Nullstellen berechnen, dann hat man mit der Anwendung einer Lösungsformel für quadratische Gleichung erhält man so die Lösungen Ich hoffe doch, dass ihr wenigstens wisst wie man quadratische Gleichungen löst. Die Nullstellen unserer Funktion f wären also und Damit können wir sie aber auch in Linearfaktoren zerlegen. Du kennst bestimmt auch den Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Also hat die Gleichung die selben Lösungen wie unsere Gleichung oben. Und wenn wir das ausmultiplizieren stellen wir leicht fest, dass es eigentlich genau das selbe ist. Es sieht nur anders aus. Worauf will ich hinaus? Ich will dir zeigen, dass wenn wir zwei Nullstellen einer quadratischen Funktion kennen, dann wissen wir schon wie sie aussieht. Bis auf einen Vorfaktor, den man noch bestimmen müsste. Wenn du also weißt, dass eine Funktion die Nullstellen bei x=1, x=2 und x=3 hat, so wissen wir, dass sie die Linearfaktoren (x-1)(x-2)(x-3) besitzt. Du fragst dich woher der Vorzeichenwechsel in den Klammern kommt, weil die Nullstellen waren ja bei 1, 2 und 3. Hier haben wir aber -1, -2 und -3 geschrieben. Hä? Ganz leicht, wenn wir die Nullstellen berechnen, dann ist ja nach dem Satz vom Nullprodukt folgendes zu berechnen x-1=0 x-2=0 x-3=0 Und jetzt siehst du hoffentlich weshalb dieser Vorzeichenwechsel nötig ist. Vielleicht kennst du es auch von der Polynomdivision, da du aber keine Ableitungen kennst bezweifel ich das. Lange Rede kurzer Sinn. Wir kennen vier Nullstellen einer Funktion vierten Grades welche wir rekonstruieren möchten. In welche Linearfaktoren zerfällt unsere Funktion? Am Ende unterscheidet sie sich von der "echten" Funktion, die du im Schaubild siehst nur um einen Vorfaktor, wie oben schon angesprochen. Diesen Vorfaktor müssen wir noch bestimmen und sind dann fertig. Also, in welche Linearfaktoren zerfällt unsere Funktion? |
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| 16.09.2014, 22:42 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das war mal eine perfekte Erklärung. Vielen lieben Dank dafür
Dann haben wir folgendes: f(x) = a*(x+2.5)(x+1)(x-) Korrekt? |
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| 16.09.2014, 22:43 | thk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da Gmasterflash off ist... Die bereits besprochene doppelte NSt bei x=0 verhilft dir zu dem Ansatz f(x) = x^2*Restpolynom Das Restpolynom R kann anhand der Nullstellen durch seine Linearfaktoren beschrieben werden und einen Streckungsfaktor: R = a*(x+1)(x+2,5) Damit ergibt sich f(x) = ax^2(x+1)(x+2,5) a durch Einsetzen des achsenfernen Punktes bestimmen... --- konservativ: Das Restpolynom hat die Bauart ax^2+bx+c Damit f(x) = ax^4+bx^3+cx^2 Punkte einsetzen, Matrix, abfreuen... 
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| 16.09.2014, 22:43 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fast. Über die Nullstelle x=0 hatten wir ja gesagt, dass sie doppelt ist. In der Lineafaktorzerlegung taucht sie also auch 2 mal auf. Edit: Ich und off? Niemals. |
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| 16.09.2014, 22:45 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Antwort stimmte auch, oder? Ebenfalls lieben Dank an dich
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| 16.09.2014, 22:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke mal hinter das Minus wolltest du noch eine Null setzen. Nein, diese Lösung stimmt nun mal nicht ganz. Beachte meinen neuen alten Beitrag. |
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| 16.09.2014, 22:54 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x) = a*(x+2.5)(x+1)(x-0²) ---> So ist es sicherlich falsch. Daher stimmt wohl: f(x) = a*x²(x+2.5)(x+1) Wieso gibt man eigentlich die doppelte Nullstelle nicht wie die anderen Nullstellen an? Manchmal verstehe ich Mathe und dann kommt wieder eine Sache, die für mich keinen Sinn ergibt. Da zerlegt man alle Nullstellen und eine gibt man dann plötzlich anders an? Die Nullstelle lautet ist ja bei dem Punkt (0|0) ---> Das mit dem "²" ist logisch, weil es ja eine doppelte ist... |
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| 16.09.2014, 22:57 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil (x-0)^2 das selbe ist wie x^2 Wenn du von x eine Null subtrahierst passiert ja nichts. Du hättest also natürlich auch schreiben können und es würde so aussehen wie die anderen. Es ist nur nun mal nicht notwendig. Passieren tut da aber nichts schlimmes. So ist es nun richtig. Nun müssen wir nur noch den Vorfaktor a bestimmen. Dazu brauchen wir den letzten Punkt den wir ablesen konnten. Das ja (-2|-4) Eine Idee wie wir nun an a kommen? |
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| 16.09.2014, 23:05 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt ist das klar, toll erklärt
Einfach nur einsetzen. Habe dann folgendes raus: a*(-2) = 4 -2a = 4 -2a = 4 |:-2 a = -2 |
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| 16.09.2014, 23:08 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, wobei du natürlich -4 schreiben musst und a=2 ist. Das ist richtig. Dabei hoffe ich, dass du es auch so eingesetzt hast wie man es muss, weil es hier zufällig passt. Gemeint ist es natürlich so: |
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| 16.09.2014, 23:13 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrekt, habe bei der 4 das minus vergessen. Habe es genau so eingesetzt
Freut mich, dass ich es richtig hatte. Demnach lautet die Lösung der Aufgabe wie folgt: f(x) = 2(x-0)² (x+1) (x+2.5) |
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| 16.09.2014, 23:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, nur halt den Vorzeichenfehler nicht mit übernehmen. a war ja 2 und nicht -2 f(x)=2x^2(x+1)(x+2.5) Und sieht so aus, was uns ja bekannt vor kommt: |
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| 16.09.2014, 23:19 | Lara95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hatte den Fehler paar Sekunden später editiert, aber du warst schneller. Vielen lieben Dank noch mal für deine tolle Hilfe. Du hast das echt genial erklärt, hätte dich gerne als Mathe Lehrer
Ich wünsche einen schönen Abend! Liebe Grüße Lara |
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| 16.09.2014, 23:20 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hört man doch gerne. Gern geschehen. |
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