Gleiche Eigenwerte

17.09.2014, 08:25	Haevelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiche Eigenwerte Wie kann ich beweisen, dass wenn x Eigenwert von AB ist, wobei A,B nn Matrizen sind, x auch Eigenwert von B*A ist?
17.09.2014, 09:01	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabe 16 des Übergangsmarathon wird eine Aussage bewiesen, die deine Behauptung impliziert
17.09.2014, 09:49	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier noch eine Alternative: Schaue dir zu einem Eigenvektor x von AB mal an, was BA mit Bx macht. Du musst dann bloß noch etwas aufpassen, wenn Bx = 0.
17.09.2014, 11:09	Haevelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also AB x = lx Dann: B A B x = lBx und jetzt rechts mit B^-1 multiplizieren führt auf B A * x = l*x; man muss lediglich gewährleisten, dass B invertierbar ist. Ist das eine Lösung?
17.09.2014, 12:15	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu mit B^-1 multiplizieren? Du hast doch damit nachgerechnet, dass Bx ein Eigenvektor von BA zum selben Eigenwert ist. Es muss ja auch B überhaupt nicht invertierbar sein. Was machen wir aber nun, wenn Bx = 0 ? Eigenvektoren müssen ja per Definition ungleich 0 sein.
17.09.2014, 15:05	Haevelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Bx ein Eigenvektor von AB ist, dann ist er ja automatisch ungleich 0, da, wie du schreibst, Eigenvektoren ungleich 0 sind.
Anzeige

17.09.2014, 15:39	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bx ist aber kein Eigenvektor von AB, sondern x.
17.09.2014, 16:07	Haevelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Bx ist ein Eigenvektor von BA oder?
17.09.2014, 16:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wiederhole mich. Nur wenn Bx ungleich 0 ist. Was machst du, wenn Bx = 0?
18.09.2014, 12:52	Haevelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung
18.09.2014, 13:45	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Fassen wir mal zusammen, was du bis jetzt hast. Ich glaube nämlich, dass dein Aufschreibstil dafür nicht besonders förderlich war und dir das selbst garnicht klar ist. Ist $\begin{eqnarray} \lambda\neq 0 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ABx = \lambda x \neq 0 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} Bx \neq 0 \end{eqnarray}$ , da sonst $\begin{eqnarray} ABx = A(Bx) = A0 = 0 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} Bx \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} BA \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} BA(Bx) = \lambda (Bx) \end{eqnarray}$ . Analog folgt natürlich, dass Eigenwerte von $\begin{eqnarray} BA \end{eqnarray}$ , die nicht Null sind, auch Eigenwerte von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ sind. Es bleibt also zu zeigen, dass, wenn $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ den Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ hat, dieses dann auch für $\begin{eqnarray} BA \end{eqnarray}$ gilt und umgekehrt. Das geht mit einem anderen Ansatz. Denk dran, dass der Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ etwas spezieller ist, als alle anderen und etwas bestimmtes über deine Matrix aussagt. Dazu werde ich aber sonst nichts mehr sagen, weil ich finde, dass du bis jetzt noch nicht so viel selber geleistet hast und das auch der einfachere Teil ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »