[Beweis] Eigenraum invariant

17.09.2014, 11:11	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
[Beweis] Eigenraum invariant Hallo Freunde, ich versuche gerade eine Klausuraufgabe zu lösen, wollte aber nicht in die Lösung schauen und hoffe, dass ich selbst (mit einigen Hinweisen von euch) selbst drauf komme. Also die Aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ zwei Endomorphismen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Für diese gelte: $\begin{eqnarray} \phi \circ \psi = \psi \circ \phi \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Jeder Eigenraum von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist unter $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ invariant. Meine Ideen: Ich habe das so interpretiert: Es muss gelten: Sei $\begin{eqnarray} E_\phi \end{eqnarray}$ ein Eigenraum von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \psi(E_\phi) \subset V \end{eqnarray}$ Jetzt müsste ich das noch irgendwie als Skalarprodukt aufschreiben. Könnt ihr mir einen Tipp geben?
17.09.2014, 11:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Bedingung für einen invarianten Unterraum nicht ganz richtig formuliert. Das, was du da hingschrieben hast, ist trivialerweise erfüllt. Und dann: Wo sollte denn hier ein Skalarprodukt auftauchen? Davon war nie die Rede.
17.09.2014, 12:02	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Was fehlt denn noch für die korrekte Formulierung? edit// Also ich muss ja irgendwie zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} x \in E_\phi \end{eqnarray}$ das Bild von $\begin{eqnarray} \psi(x) \end{eqnarray}$ wieder in $\begin{eqnarray} E_\phi \end{eqnarray}$ liegt. Aber wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf, damit ich damit rechnen kann?

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