Zu Körper passendes Polynom ermitteln

17.09.2014, 14:14

fckoelle89

Zu Körper passendes Polynom ermitteln

Hallo,

habe folgende Aufgabe und meine Lösung stellt mich noch nicht wirklich zufrieden:

Sei $\begin{eqnarray*} K= \left\{ 0,1,\omega, \omega^2\right\} \end{eqnarray*}$ ein Körper mit Charakteristik 2 und 4 Elementen; insbesondere gilt: $\begin{eqnarray*} 1+\omega+\omega^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega^3=1 \end{eqnarray*}$ .
Ferner sei $\begin{eqnarray*} f\in R=K[x] \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} L:=R/(f)_R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist mit $\begin{eqnarray*} |L|=16 \end{eqnarray*}$ .
Bestimme, welches Polynom für f in Frage kommt.

(a) $\begin{eqnarray*} g_1=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} g_2=x^4+x+1 \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} g_3=x^2+x+w \end{eqnarray*}$
(d) $\begin{eqnarray*} g_4=x^2+wx+w^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt einfach argumentieren, dass wegen $\begin{eqnarray*} |L|=16 \end{eqnarray*}$ und Charakteristik 2 folgt: $\begin{eqnarray*} |L|=16 = 2^4 \end{eqnarray*}$ ? Die Charakteristik findet sich ja immer in der Basis wieder und der Grad der Funktion im Exponenten dieser Zerlegung. Dadurch bliebe ja nur $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ als möglicher Kandidat übrig.

Irgendwie kommt mir das aber zu kurz vor...ich verwende ja nur ca. die Hälfte der Vorgben. Kann mir jemand die Richtigkeit bestätigen oder eine Idee für einen alternativen Lösungsweg geben?

17.09.2014, 15:54

MatheMaster_93

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Hallo,

ich würde sagen, das stimmt noch nicht ganz. Hast du einen endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K [X]/(f) \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} |\mathbb K [X]/(f)| = |\mathbb K [X]|^{deg(f)} \end{eqnarray*}$ , falls f irreduzibel ist. (Sonst macht die Konstruktion keinen Sinn.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} 4^2=16 \end{eqnarray*}$ , also gebe ich dir den heißen Tipp, dass (b) nicht in Frage kommt.

MM

19.09.2014, 10:39

fckoelle89

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Ach klar, K besteht ja aus 4 Elementen und somit darf der Grad der gesuchten Funktion nur 2 sein, damit man auf $\begin{eqnarray*} |L|=16=4^2 \end{eqnarray*}$ kommt. Dann bleiben ja nur noch die drei quadratischen Funktionen.

Und da muss ich jetzt also prüfen, welche unter K irreduzibel ist. Weil reduzible funktionen kann ich ja nicht brauchen, da der Grad der Funktion 2 sein muss. Und wenn das eine sein sollte, dann ist das meine Lösung?

19.09.2014, 10:53

tmo

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Zitat:

Original von MatheMaster_93
Hast du einen endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K [X]/(f) \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} |\mathbb K [X]/(f)| = |\mathbb K [X]|^{deg(f)} \end{eqnarray*}$ , falls f irreduzibel ist. (Sonst macht die Konstruktion keinen Sinn.

Hier haben sich ein paar Unwahrheiten eingeschlichen.

Richtig sollte es heißen: Ist $\begin{align*} K \end{align*}$ endlicher Körper, so ist $\begin{align*} |K[X]/(f)| = |K|^{deg(f)} \end{align*}$ (für beliebiges f). Ist $\begin{align*} f \end{align*}$ darüber hinaus irreduzibel in $\begin{align*} K[X] \end{align*}$ , so ergibt diese Konstruktion einen Körper.

@fckoelle89: Ja, deine Vorgehensweise passt jetzt.

19.09.2014, 11:10

fckoelle89

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Ich hab es dann glaube ich geschafft: Eine Funktion ist ja genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstellen im Körper K hat. Das kann man hier ja einfach mal einsetzen, wir haben ja nur Elemente in K. Also setze ich $\begin{eqnarray*} 0, 1, \omega, \omega^2 \end{eqnarray*}$ in die drei übriggebliebenen Kandidaten ein und gucke, welche davon in keinem Fall eine Nullstelle hat. Nach maximal 12 Rechnungen weiß ich dann also, dass nur $\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ in Frage kommt.

19.09.2014, 11:19

tmo

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Genau.

Ist dir jedoch bewusst, dass es hier nur reicht auf Nullstellen zu überprüfen, weil die Polynome Grad 2 haben?

Und die 12 Rechnungen sind wirklich eine grobe obere Schranke Big Laugh

Das erste Polynom kommt nicht in Frage, weil es ja aus $\begin{align*} \mathbb F_2 \end{align*}$ kommt, folglich in $\begin{align*} \mathbb F_4 \end{align*}$ zerfällt.

Damit sind es nur noch maximal 4 Rechnungen (Nämlich entweder alle 4 Werte beim Dritten einsetzen und keine Nullstelle finden oder eben maximal 3 Werte in das Vierte einsetzen und Nullstelle finden). Augenzwinkern

19.09.2014, 16:02

fckoelle89

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Dass ich das Kriterium mit den Nullstellen nur bei quadratischen Funktionen anwenden kann, ist aber auch noch nicht die ganze Wahrheit, habe folgenden Satz hier stehen: "Ein Polynom über einem Körper K vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in K hat." Geht also auch noch für Funktionen von Grad 3. Aber das ist mir klar, hab ich wahrscheinlich oben vergessen dazuzuschreiben... ;-)

Zu den zwölf Rechnungen: Ich habe doch drei Gleichungen, die möglich sind, und vier Elemente aus dem Körper. Also habe ich doch maximal 3*4=12 Gleichungen zu lösen, wenn ich nicht vorher schon auf eine Nullstelle stoße!?

19.09.2014, 17:36

MartinL

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Hierzu bzw. zur Charakteristik hätte ich noch ne Frage. Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstanden habe. Gibt mir die Charakteristik an, wie oft ich das neutrale Element der Multiplikation addieren muss, bis 0 rauskommt? Also in diesem Fall müsste dann einfach 1+1 = 0 gelten?

EDIT: Mit dieser Annahme kann ich die Aufgabe auf jeden Fall lösen. Hätte man denn dann nicht auch einfach 1+1 = 0 anstatt "Charakteristik 2" hinschreiben können? Hätte einen möglichen Stolperstein aus der Aufgabe herausgenommen.

20.09.2014, 10:44

tmo

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@fckoelle89: Ja maximal 12, aber wie gesagt: Es geht mit deutlich weniger Aufwand.

@MartinL: Spätestens bei Charakteristik 43 wirds dann aber mühsam, wenn man $\begin{align*} 1+1+1+ \dotsb + 1 = 0 \end{align*}$ hinschreiben will Augenzwinkern

20.09.2014, 10:51

MartinL

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Ja, grundsätzlich ist das sicher so, aber da wir das Wort so glaube ich nicht im Skript hatten und bei mir die lineare Algebra schon was her ist (falls wir es da hatten), hatte ich das Wort nicht mehr im Kopf und habe diese (eigentlich lösbare) Aufgabe in der Klausur bis zum Schluss übrig gelassen und so fehlten ein paar wichtige Punkte.

In einer Klausur unter Zeitdruck hätte es mir in diesem speziellen Fall einfach mehr geholfen, wenn da "Charakteristik 2, d.h. 1+1 = 0" gestanden hätte Augenzwinkern

. Ansonsten sollte man es natürlich schon besser so schreiben. Meine Anmerkung war also eher als nachträglicher Frust zu verstehen Augenzwinkern

Gruß
Martin

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