Parameter für Stetigkeit/Diffbarkeit bestimmen.

18.09.2014, 11:00

Mathelover

Parameter für Stetigkeit/Diffbarkeit bestimmen.

Hallo Freunde,

habe hier eine Aufgabe bei dem ich Probleme habe.

Betrachten Sie die parameterabhängige Funktion:

$\begin{eqnarray*} f:[0,3]\rightarrow\mathbb{R},f(x)=\begin{Bmatrix} a\cos(2\pi x)+1&x\in[0,1]\\bx^2+x+2& x\in]1,2] \\ce^{x-2}+3 &x\in]2,3] \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} ]0,3[ \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist.

Meine Ideen:

Für die Stetigkeit wollte ich so vorgehen (Sprungstellen untersuchen):

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} a\cos(2\pi x)+1 = \lim_{x\to 1}bx+x+2 = f(1) \end{eqnarray*}$
Damit erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} a+1=b+2 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich weiter?

18.09.2014, 11:12

Bjoern1982

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Zitat:

Damit erhalte ich: $\begin{eqnarray*} a+1=b+2 \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite stimmt nicht ganz.

Es fehlt nun noch die entsprechende Differenzierbarkeit (Übereinstimmung der Ableitungen) an der "Nahtstelle" x=1.

Und dann das ganze nochmal für die andere Nahtstelle, also x=2 (Das letzte Intervall soll wohl ]2;3] lauten und nicht ]2;1])

18.09.2014, 11:21

Mathelover

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Intervall hab ich korrigiert, danke sehr.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a+1 = b+3 \end{eqnarray*}$
Also das heißt ich muss noch folgendes prüfen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1} -a\sin(2\pi x)*2\pi = \lim_{x\to1} 2bx+1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 0=2b+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a= \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ?

18.09.2014, 11:26

Bjoern1982

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Nach den zahlreichen Edits macht das nun Sinn, ja. Augenzwinkern

Damit kannst du ja nach b auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.

18.09.2014, 11:35

Mathelover

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Also erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{3}{2} b = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt mache ich das ganze für c?

Sprungstellen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} bx^2+x+2 =\lim_{x\to 2} ce^{x-2}+3=f(2) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 4b + 4 = c +3 c = -1 \end{eqnarray*}$

Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2} 2b+1 =\lim_{x\to 2} ce^{x-2} c = -1 \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion für $\begin{eqnarray*} a=\frac{3}{2}, b=-\frac{1}{2}, c=-1 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} ]0,3[ \end{eqnarray*}$
stetig differenzierbar.

Richtig so?

18.09.2014, 12:13

Mathelover

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kann mir jemand bitte die Lösung bestätigen? smile