Kongruenzsystem: Lösungen deratig bestimmen, dass..

18.09.2014, 15:55	Scusi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzsystem: Lösungen deratig bestimmen, dass.. Einen wunderschönen guten Tag wünsche ich! Ich bin zurzeit wieder in der Prüfungsvorbereitung, hab auch noch ein bisschen Zeit, aber man soll ja die Zeit nutzen, die man hat.. Ich häng gerade beim Thema der Kongruenzsysteme. Die Lösung eines Kongruenzsystems fällt mir jetzt nicht mehr so schwer, allerdings bin ich gerade auf dem Holzweg, wie genau ich Aufgabe b) hier Lösen kann, also wie ich alle Lösungen dannach bestimme, sodass −100 ≤ x ≤ 100.. Ich poste mal zur Vollständigkeit die komplette Aufgabe: (Vll kann einer mal drüberschaun, ob die Antwort bei c) reicht..) (a) Bestimmen Sie alle Lösungen des folgenden Kongruenzsystems: $\begin{eqnarray} x \equiv -3(mod 10)<br /> x \equiv 2 (mod 15)<br /> x \equiv 5 (mod 8) \end{eqnarray}$ Ergebnis: Lösungsmenge ist L:= $\begin{eqnarray} \left[-43\right]_{120} = \left[77\right]_{120} \subseteq Z \end{eqnarray}$ (Verifizierung stimmt auch). (b) Bestimmen Sie danach alle Lösungen x, sodass $\begin{eqnarray} -100 \leq x \leq 100 \end{eqnarray}$ (c) Warum wäre das System mit der zusätzlichen Kongruenz $\begin{eqnarray} x \equiv 3(mod 5) \end{eqnarray}$ nicht lösbar? -> Kompatibilitätstest für Kongruenzen versagt bei $\begin{eqnarray} 3 \equiv -3(mod 5) \end{eqnarray}$ Wünsche allen noch nen schönen mathematischen Nachmittag & schonmal vielen dank für kommende Hilfestellungen
18.09.2014, 17:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemäß Ergebnis von (a) haben alle ganzzahligen Lösungen $\begin{align} x \end{align}$ die Gestalt $\begin{align} x=120k+77 \end{align}$ mit irgendeinem $\begin{align} k\in\mathbb{Z} \end{align}$ . Also löse doch einfach die Doppelungleichung $\begin{align} -100 \leq 120k+77 \leq 100 \end{align}$ in $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ , d.h., es sind zwei einfache lineare Ungleichungen zu lösen, und deren Lösungsmengen zu schneiden.

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