Konvergenz von Folgen

18.09.2014, 16:36

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz von Folgen

Hallo,

ich habe Probleme bei der Grenzwertbestimmung $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ dreier Folgen:

a) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{3}{n})^{n+3} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{2}{n})^{3n} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^{n} \end{eqnarray*}$

Ich weiß das zumindest bei a) und b),dass der Grenzwert jeweils $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^6 \end{eqnarray*}$ ist. Des Weiteren weiß durch Recherche, dass man durch ableiten mit der L'Hospital Regel zu dem gewünschten Ergebnis kommt. Da wir aber in unserem Vorkurs diese Regel noch nicht hatte und lediglich die Definition :
$\begin{eqnarray*} x_{n}=(1+\frac{z}{n})^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n}= e^{z} \end{eqnarray*}$
für z in den komplexen Zahlen, bekommen haben, möchte ich gerne wissen ob es andere Lösungswege gibt und wie diese ausschauen .

Wenn ich die Definitionen anwende, kann ich mir zwar a) erklären aber die anderen nicht.

Ich wäre dankbar um Hilfe.

lg,

18.09.2014, 16:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Aufgabe c) splitte den Bruch.

Für die b) erweiter den Bruch so, dass der Nenner mit dem Exponenten übereinstimmt.

18.09.2014, 16:43

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von zero_fear
Ich weiß das zumindest bei a) und b),dass der Grenzwert jeweils $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^6 \end{eqnarray*}$ ist.

Bei a) ist der Grenzwert nicht $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ .

18.09.2014, 16:47

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ meinte ich natürlich.

18.09.2014, 16:49

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du denn nun bei der b) und c) weitergekommen?

18.09.2014, 16:55

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

b) erschließt sich mir jetzt, dafür a) nicht mehr, denn warum muss ich dann nicht den Bruch hin zu $\begin{eqnarray*} n+3 \end{eqnarray*}$ erweitern?

c) Den Bruch splitten inwiefern? So $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n}+\frac{0}{1} \end{eqnarray*}$ ?

Anzeige

18.09.2014, 16:56

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp für c)

(1 + n/1)^n

Hoffe das ich mich nicht irre.

18.09.2014, 16:58

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das was ich gerade geschrieben habe war absoluter SChwachsinn. Ich bin verwirrt.

18.09.2014, 16:59

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu c)

Nein, das geht so natürlich nicht.

Immerhin ist

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n}+\frac{0}{1}\neq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Dieses Bruchrechengesetz was du da anwendest existiert nicht.

Es läuft darauf hinaus, dass du kürzt. Dazu kannst du entweder eine Polynomdivision mit Rest durchführen oder du addierst im Zähler eine "Null", was ein üblicher Trick ist um danach zu kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}+\frac{-1}{n+1} \end{eqnarray*}$

zu a)

Einen Bruch kannst du ja nicht so ohne weiteres erweitern, dass du ein "+3" im Zähler und Nenner erhältst.
Bei der a) brauchst du Potenzgesetze und Grenzwertsätze.

@M1:

Zitat:

Original von M1
Tipp für c)

(1 + n/1)^n

Hoffe das ich mich nicht irre.

Du irrst. Das was du hinschreibst ist zudem auch divergent.

18.09.2014, 17:04

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hättest du das hier zero:

$\begin{eqnarray*} ( 1 - \frac{1}{n+1} )^n \end{eqnarray*}$

18.09.2014, 17:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

@M1:

Lass den Fragesteller bitte selber auf die Antwort kommen, auch wenn ich hier schon recht viel vorgegeben hatte.

18.09.2014, 17:06

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das war leider falsch Gmasterflash. Big Laugh

Big Laugh

Diesen trick kannte ich auch nicht .

18.09.2014, 17:09

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es lohnt sich dies im Hinterkopf zu bewahren. Das ist oft nützlich. Generell der Trick mit der "Null".
Mit der Polynomdivision geht es natürlich auch. Dieser Schritt ist mehr oder weniger eine Polynomdivision im Kopf.

18.09.2014, 17:15

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja soweit bin ich auch. Aber nach meinem Verständnis muss ich das ja in die Form $\begin{eqnarray*} \frac{z}{n} \end{eqnarray*}$ bringen.

18.09.2014, 17:23

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dafür sorgen, dass Nenner und Exponent übereinstimmen.

18.09.2014, 17:36

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung das ich mich kurz einmische .

Könnte man hier nicht wieder den obigen Trick anwenden und mit +n-n erweitern ?

Ich hoffe ihr nimmt das nicht böse .

Beim thema Folgen und Reihen lernt man nie aus. Big Laugh

Big Laugh

18.09.2014, 17:46

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich müsste ich doch jetzt einfach mit $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1} {n+1}) \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Die Basis würde ja gleich bleiben oder? *confused*

18.09.2014, 17:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

@M1:

Sowas kannst du eigentlich immer am besten am Ende eines Threads fragen. Ansonsten entstehen zwei parallele Diskussionsstränge wovon der ursprüngliche Fragesteller nichts hat.

Wo willst du denn +n-n addieren?
Ich verneine das mal und sage, dass es nichts bringen wird.

Edit:

@zero_fear:

Das Problem ist, dass wenn du einfach etwas multiplizierst, dann veränderst du ja den Term. Sowas muss immer so geschehen, dass sich nichts ändert.

18.09.2014, 17:55

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja offensichtlich muss ja entweder der Exponent oder der Nenner angepasst werden. Aber ehrlich gesagt habe ich kein Plan. Termumformung ist meine große Schwäche.

18.09.2014, 17:57

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Termumformungen sollten unbedingt sitzen.

Den Nenner anzupassen wird schwer. Passe den Exponenten an.

18.09.2014, 18:03

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich den Exponent auf n+1 erweitern soll, dann muss ich ja zwangsweise genanntes dazu addieren.

18.09.2014, 18:03

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du 1 addierst musst du auch 1 subtrahieren.
Wende auch auch wieder Potenzgesetze und Grenzwertsätze an.

18.09.2014, 18:23

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwertsätze treten doch erst auf wenn ich den Grenzwert bestimmen. Aktuell bin doch aber in der Termumformung. Das einzige was mir zu Potenzgesetzen einfallen würde wäre die multiplikation mit der Basis also ^1. Hatte mich gerade außerdem verschrieben ich meinte die Multiplikation. Steh einfach derbe auf dem Schlauch.

18.09.2014, 18:25

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^n=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n+1-1} \end{eqnarray*}$

Und die extra (-1) im Exponenten stört uns.

18.09.2014, 18:41

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste man ja eigentlich teilen bzw. mit dem Kehrwert multiplizieren. Aber das hat ja auch kein Hand und Fuß verwirrt

verwirrt

18.09.2014, 18:44

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an wie du es meinst.
Es sind eben Potenzgesetze...

18.09.2014, 18:57

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich, ich habe keine Ahnung..

18.09.2014, 19:00

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schaue dir noch mal die Potenzgesetze an.

18.09.2014, 19:06

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich schon. Um die -1 im Exponenten wegzukriegen müsste ich doch eigentlich wieder multiplizieren. Denn wenn ich dividiere dann bin ich wieder bei n für den Exponenten

18.09.2014, 19:19

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt doch das Potenzgesetz:

$\begin{eqnarray*} a^m\div a^n=a^{m-n} \end{eqnarray*}$

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Das würde man hier eben anwenden und so den Exponenten "auseinander ziehen".

18.09.2014, 19:38

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und was bringt das letztlich? Dann hätte ich
$\begin{eqnarray*} a^{n+1}\div a^1 \end{eqnarray*}$

18.09.2014, 19:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt, dass du die Grenzwertsätze anwenden kannst. Du hast ja nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{1}} \end{eqnarray*}$

Und gegen was konvergiert Zähler und Nenner?

18.09.2014, 19:50

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt hats klick gemacht ^^
Der Zähler konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$
Der Nenner konvergiert gegen 1

18.09.2014, 19:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und das Endergebnis ist dementsprechend was?

18.09.2014, 19:53

zero_fear

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Endergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Danke für deine Geduld Freude

Freude

18.09.2014, 19:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Gern geschehen.

18.09.2014, 19:57

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich eine frage stellen ?

Warum konvergiert nicht auch der Zähler gegen e^ ?

18.09.2014, 20:00

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich eine Gegenfrage stellen?

Warum sollte er denn gegen e konvergieren?

18.09.2014, 20:05

M1

Auf diesen Beitrag antworten »

In meiner Fromelsammlung steht normalerweise:

( (n+1)/n )^n = e^

(1 + 1/n)^2 = e

Der Nenner ist ja eigentlich auch das gleiche wie der Zähler . Nur die Exponenten sind anders .

Hat das damit was zu tun?

18.09.2014, 20:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^2=1 \end{eqnarray*}$

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »