Anfangswertproblem Verständnis

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18.09.2014, 17:55	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem Verständnis Hallo, ich habe einige Fragen zu AWP denn ich verstehe überhaupt nicht den Sinn hinter den Aufgaben (gerade drisch im Thema drin), wie löse ich zB y'= e^y/(x*ln(x)) mit y(e)=1 Wonach löse ich auf? Nach x? y? Was gibts es da für Methoden? Die Defninitionen im Skript und internet verstehe ich anhand der Theorie nicht, kann mir jmd das mal bitte anhand meines Bsp hier praktisch zeigen?
18.09.2014, 18:07	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem Verständnis Hallo das hier ist ein Beispiel für Trennung der Variablen. Habt Ihr das schon behandelt? Dabei ist $\begin{eqnarray} y'=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ zu setzen und dann nach y und x zu sortieren(umformen) z.B . alles was mit y ist auf die linke Seite bingen und alles mit x auf die rechte Seite oder umgekehrt, das ist egal. Dann werden beide Seiten integreirt und es wird nach y aufgelöst. Erst zum Schluß setzte Du die AWB in die Lösung ein.
18.09.2014, 18:28	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen dank schonmal, dann bekomme ich am Ende y=2/ln(x^2+1) raus. Und wie setze ich die AWB da nun ein? Weil für x=0 wird der Nenner 0
18.09.2014, 18:36	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt nicht. Du erhälst nach Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{e^{y} } =\frac{dx}{x ln(x)} \end{eqnarray*}$ Diese beiden Ausdrücke mußt Du nun jeweils integrieren.
18.09.2014, 18:54	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh klar stimmt, mein Fehler... aber dann komme ich nach dem integrieren auf: -e^(-y)=ln(ln(x)) und das wird am ende zu y=ln(-1/ln(ln(x))) oder was ist jetzt wieder?
18.09.2014, 19:08	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe erhalten: $\begin{eqnarray} - e^{-y} =ln \|ln(x)\| +C \end{eqnarray}$ das mußt Du jetzt nach y umstellen. Lösung: $\begin{eqnarray} y= -ln(-ln\|ln(x)\|-C) \end{eqnarray}$
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18.09.2014, 19:17	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, und auf die Konstante C habe ich garnicht geachtet... Raus kommt nach mir: y=ln(1/(-ln(ln\|x\|-C))) Nach -e^(-y)=-1/(e^y)=ln\|ln(x)\|+C 1/e^y=-ln\|ln(x)\|-C dann noch Kehrwert, und ln auf beiden Seiten um das e zu eliminieren
18.09.2014, 19:28	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast Du Dich verrechnet. Mit der Anfangsbedingung eingesetzt erhält man: $\begin{eqnarray} y= -ln(-ln\|ln(x)\| +\frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Das dieses Ergebnis stimmt, siehst Du , indem Du die Probe machst. Also 1 Mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen.
18.09.2014, 19:39	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja jetzt hab ichs danke! Also muss man für die endgültige Lösung noch AWB in y=.. einsetzen, um auf C zu kommen. Meine Frage nun: wie ist das, man integriert ja auf beiden Seiten, wieso hast du nur 1 C? Bei beiden Integralen müsste doch eine Konstante auftauchen?
18.09.2014, 19:43	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Also muss man für die endgültige Lösung noch AWB in y=.. einsetzen, um auf C zu kommen. ->ja und C dann in die y- Lösung einsetzen. 2.) wie ist das, man integriert ja auf beiden Seiten, wieso hast du nur 1 C? Bei beiden Integralen müsste doch eine Konstante auftauchen? Das stimmt. Bei DGL werden standardmäßig beide Integrationskonstanten zu einer zusammengefasst. Diese steht dann meistens rechts( muß aber nicht sein)
18.09.2014, 19:46	Ck247	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich danke dir für alles!

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