Stetigkeiten von Funktionen

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Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeiten von Funktionen
Meine Frage:
Hallo,

folgende Funktion sei gegeben und es soll auf Stetigkeit an der Stelle = 0 und x02=1 geprüft werden.



Meine Ideen:
Habe an der Stelle 0 eine Stetigkeit herausbekommen, muss ja für x01=0 die erste "halbe" Funktion nehmen,weil die zweite ja nur mit x=1 definiert ist und bekomme da f(x0) = -1 herraus und auch die Grenzwerte von bzw.
ist = -1. Also stetig.

Bei x02= 1 muss ich ja in die zweite also f2(x)=2 einsetzen. Kommt ja logischerweise 2 herraus, wie ist es dann bei den Grenzwerten? Da hänge ich leider.. kann mir einer helfen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »



Was ist denn für bzw. für ? Wenn du das in die Funktionsvorschrift einsetzt, kannst du etwas vereinfachen.
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, habe es nicht geschafft, es genau so aufzuschreiben.

für ; müsste doch einfach x-1 sein ?

für ist es doch -(x-1) oder?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und wenn du das jetzt in die Funktion einsetzt, was kommt dann raus?
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »



Meinst du das?
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

So sollte es jetzt nicht aussehen, ich probiere es mal anders also { 1. x-1 ; x>1 2. -(x-1) ; x < 1

3. 2 ; x=1
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du doch aber bei den ersten beiden Fällen vergessen, durch zu dividieren.
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

{ 1. (x-1)/(x-1) = 1 ; x>1 2. -(x-1)/(x-1) =-1 ; x < 1


3. 2 ; x=1

so?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.


Jetzt sollte auch das Untersuchen der Stetigkeit an der Stelle keine Schwierigkeiten mehr machen. smile
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Werde ich gleich machen und auch nochmal hier reinschreiben, aber kann man also grundsätzlich sagen, dass man die Betragsstriche "weglassen" kann mithilfe einer Bedingung? Und wo kann ich mir solche Funktionen zeichnen lassen?

Vielen Dank smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Beträge kann man immer ersetzen durch (so ist der Betrag ja definiert)

Zeichnen: Entweder hier im Board-Plotter


(allerdings dürfte da der senkrechte Strich bei x=1 nicht sein).

Oder bei Google: Klick (selbes Problem mit dem senkrechten Strich)

Meiner Meinung nach die beste Möglichkeit: Geogebra runterladen und dort zeichnen. Dort kannst du u.a. auch abschnittsweise definierte Funktionen zeichnen (und noch viel, viel mehr, z.B. Geometrie).

Wenn du mal googelst, findest du bestimmt noch mehr Zeichenprogramme, aber das sind die drei Sachen, die ich nutze.
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade aber auf, dass wir die |x| ganz am Anfang vergessen haben?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das habe ich auch übersehen.
Naja, dann hast du jetzt gleich noch eine Übungsaufgabe. Augenzwinkern
(Ich würde da erstmal wieder die Beträge auflösen.)
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, werde ich aufjedenfall erledigen! Nur leider fehlt mir abends dazu die Zeit.
Wäre cool wenn wir da morgen weiter machen Augenzwinkern

Vielen Dank für die Hilfe!! smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich bin dann morgen wieder da. smile
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einfach keinen Ansatz, wie ich die |x| jetzt noch in die Gleichung mit einbauen soll. verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist jetzt

Diesmal haben wir zwei Stellen, an denen die Zahlen innerhalb der Beträge ihr Vorzeichen ändern: Das, was in dem roten Betrag steht, ändert sein Vorzeichen bei x=1, und das im grünen Betrag bei x=0.

Deswegen müssen wir jetzt folgende Fälle unterscheiden:


Kannst du jetzt ergänzen, was da noch stehen muss?
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

[/latex]

Bin mir da total unsicher, wie ich die Beträge da richtig berücksichtigen muss.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Freude
Und jetzt kannst du wieder vereinfachen.
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »



Bekomme dann für eine Stetigkeit herraus und für
eine Unstetigkeit, passt das so?

Habe es leider nicht geschafft es in Geogebra einzugeben, weiss einfach nicht wie ich das genau so eingeben soll, wäre super wenn du mir das schreiben könntest.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Funktion ist bei unstetig.

Bei Geogebra gibst du folgendes ein:
code:
1:
abs(x-1)/(x-1)+abs(x)


Oder für eine abschnittsweise definierte Funktion
code:
1:
Funktion[ <Funktion>, <Startwert a>, <Endwert b> ]


Also für den ersten Teil unserer Funktion (der Teil für :
code:
1:
Funktion[-1-x,-infinity,0]

Für den Teil :
code:
1:
Funktion[-1+x,0,1]

Genauso dann für den Teil .
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Super, Vielen Dank!

Nur der Schritt wo du die 4 Bedingugen für die Beträge für mich ausgelegt hast, verstehe ich noch nicht, wie du da genau auf diese kommst verwirrt
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte hier noch eine Aufgabe jetzt zur Übung die f(x)={2x; > = 0 und (2)/(x) ; x <0

x0 ist gleich 0

Habe da für die f(x0)=0 raus.

für lim x->0+ 2*x = 0

und für lim x->0- = unendlich (?)

Also unstetig müsste sie sein?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du guckst einfach, an welchen Stellen sich in irgendeinem der Beträge das Vorzeichen ändert (wir haben bei einen Vorzeichenwechsel bei (das, was ich oben rot markiert habe). D.h. wir müssen die Fälle und unterscheiden, wenn wir den Betrag auflösen wollen.

Jetzt gucken wir uns den anderen Betrag an (oben grün markiert). wechselt sein Vorzeichen bei . D.h. wir müssen zum Auflösen dieses Betrags die Fälle und unterscheiden.
Insgesamt hat man dann die Fälle und (hier muss man dann nur noch berücksichtigen, dass für x=1 der Funktionswert 2 definiert ist; deswegen kommt man auf insgesamt 4 Fälle).

An jeder Stelle, an der einer der Werte innerhalb der Beträge sein Vorzeichen ändert, beginnt also ein neuer Fall.



Die Funktion ist an der Stelle 0 unstetig. Die Begründung stimmt fast, bis auf ein Vorzeichen: .
Hutzejn Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich - unendlich stimmt Hammer

Viele Dank für deine Hilfe! Hab da jetzt total durchgeblickt!

Vielen, Vielen Dank!
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