Beweis durch vollständige Induktion - geometrische Zahlenfolgen

18.09.2014, 19:52

Der-Schüler

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Beweis durch vollständige Induktion - geometrische Zahlenfolgen

Hallo liebe Community
ich habe eine Reihe von Aufgaben zu lösen, in denen ich mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen muss. Das klappt auch soweit, aber bei folgender habe ich Probleme:

Beweise m. H. vollständiger Induktion dass für (an) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Geometrischen Zahlenfolgen gilt:

sn= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{1} *q^{k-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_{1} * \frac{q^{n-1} }{q-1} \end{eqnarray*}$

wenn
$\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$

Wie geht man hier vor? Wie macht man den Induktionsanfang. Was ist q? traurig

traurig

traurig

Vielen Dank erstmal

18.09.2014, 20:01

Gast11022013

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Die Induktion führst du wie gehabt nach n.
q ist einfach irgendein beliebiger Wert der nicht 1 sein darf.

Es geht alles so wie immer. Fang einfach mal an, es sieht vielleicht schwerer aus als es tatsächlich ist.

18.09.2014, 20:07

Guppi12

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Zitat:

bei folgender habe ich Probleme

das ist kein Wunder, das zu zeigende ist so nicht richtig. Du hast dich vermutlich beim Abschreiben vertan. Im Zähler muss $\begin{eqnarray*} q^n -1 \end{eqnarray*}$ stehen, nicht $\begin{eqnarray*} q^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Versuche es damit nochmal neu.

18.09.2014, 20:08

Gast11022013

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Danke Guppi12, der Tippfehler war mir entgangen.

18.09.2014, 20:17

Der-Schüler

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Vielen Dank für die Hilfe und für den Hinweis zum Tippfehler.
Aber ich verstehe leider nichts mehr...
Was setze ich den nun für a1 ein? traurig

traurig

18.09.2014, 20:20

Gast11022013

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Nichts. Das sind einfach Parameter die man später frei wählen kann. Lass dich davon nicht verunsichern.

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18.09.2014, 20:52

Der-Schüler

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für n=1

linke Seite:
a1*q^(1-1)= a1 * 1 = a1

rechte Seite
a1 * [q*(q-1)] / [q-1] = a1

Aber ich habe das Gefühl, das ist ziemlicher Quatsch.
Für n=2 würde bei beiden was unterschiedliches rauskommen... :///

18.09.2014, 20:58

Gast11022013

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Zitat:

rechte Seite
a1 * [q*(q-1)] / [q-1] = a1

Wie kommst du darauf?

Laut dieser Rechnung wäre das Ergebnis $\begin{eqnarray*} a_1q \end{eqnarray*}$

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_1\cdot q^{k-1}=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Als Induktionsanfang ist nun

n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1 a_1\cdot q^{k-1}=a_1q^{1-1}=a_1 \end{eqnarray*}$

Und wie lautet es auf der rechten Seite der Gleichung?

18.09.2014, 21:04

Der-Schüler

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rechte Seite: a1 * [(q^1 - 1) / (q - 1)] = a1

q^1-1 geteilt durch q-1 wird doch 1, oder nicht?

Muss dann weg, würde gerne Morgen weiter machen.

Vielen Dank!!!

18.09.2014, 21:07

Gast11022013

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Ja, jetzt passt es.

19.09.2014, 21:03

Der-Schüler

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Hallo,

nun
2.) Induktinosschritt
2.1 Induktionsvoraussetzung:
Angenommen es gelte:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a1*q^{k-1} = a1* \frac{q^{n}}{q-1} \end{eqnarray*}$

2.2 Induktionsbehauptung:
Dann gilt die Aussage auch für:
$\begin{eqnarray*} s_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} a1*q^{k-1} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a1*q^{k-1} + a1*\frac{q^{n}*q-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt bisher? traurig

traurig

Ich freue mich auf die Antworten

19.09.2014, 21:24

Gast11022013

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Ich finde es irgendwie komisch wie du es aufschreibst. Also die jeweiligen Schritte des Induktionsbeweises.

Es beginnt mit dem Induktionsanfang. Dann formulierst du gegebenenfalls die Induktionsvoraussetzung und beendest es mit dem Induktionsschritt.

Induktionsschritt:

Zu zeigen ist, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_1\cdot q^{k-1}=a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Nun wollen wir von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_1\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$

ausgehend solange umformen bis wir zu

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

gelangen.
Dazu verwenden wir die Induktionsvoraussetzung. Um diese anwenden zu können müssen wir erstmal die Summe zerlegen indem wir den letzen Summanden abspalten.

19.09.2014, 21:49

Der-Schüler

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Hm okay, und was meint man mit den letzen Summanden abspalten genau?

Danke

19.09.2014, 21:51

Gast11022013

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Das du den letzten Summanden explizit angibst.

Einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} k=\sum_{k=0}^n k+(n+1) \end{eqnarray*}$

19.09.2014, 21:54

Der-Schüler

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Dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_1\cdot q^{k-1}= \sum_{k=1}^{n} a_1\cdot q^{k-1} + (n+1) \end{eqnarray*}$

Sorry wenn ich mich so dumm anstelle....

19.09.2014, 21:57

Gast11022013

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Du hast mein Beispiel missverstanden.
In der hier angegebenen Summe ist der letzte Summand natürlich nicht n+1.
Du musst ja auch den Term in der Summe beachten.

20.09.2014, 11:24

Der-Schüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, also nochmal konkret.

Induktionsanfang haben wir jetzt.

Nun der Induktionsschritt, bei dem ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_1\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$ so lange umforme, bis ich $\begin{eqnarray*} a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ erhalte. Und wie macht man das genau?

20.09.2014, 11:46

Mulder

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Das ist mehr oder minder stures Umformen - das solltest eigentlich du machen, es ist ja deine Aufgabe.

Zitat:

Gmasterflash
Dazu verwenden wir die Induktionsvoraussetzung. Um diese anwenden zu können müssen wir erstmal die Summe zerlegen indem wir den letzen Summanden abspalten.

Mach das doch erstmal und schau, was sich ergibt. Danach fehlt nämlich gar nicht mehr viel.

20.09.2014, 12:16

Der-Schüler

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Danke für die Antwort.

Aber welchen letzten Summanden? Das verstehe ich leider nicht.

20.09.2014, 12:26

Mulder

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Gemeint ist das hier (darum ging es doch in den letzten Posts von euch):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} a_1\cdot q^{k-1}= \left ( \sum_{k=1}^{n} a_1\cdot q^{k-1} \right ) + a_1\cdot q^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Summe, die von 1 bis n+1 läuft. Das habe ich jetzt in eine Summe umgeformt, die nur bis n läuft und dahinter dann noch den (n+1)-ten Summanden einzeln hingeschrieben - das ist dann ja dasselbe, daher stimmt diese Gleichung. Mach dir unbedingt klar, dass das so ist. Genau das hatte Gmasterflash dir ja zuvor auch an einem anderen Beispiel gezeigt.

Wozu das Ganze? Um auf das, was jetzt in der Klammer steht, die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können. Die muss man bei einer vollständigen Induktion immer irgendwie ins Spiel bringen beim Induktionsschritt.

PS: Die Klammern sind nur zur Verdeutlichung.

20.09.2014, 16:04

Der-Schüler

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Hi Mulder vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Diesen Schritt habe ich nun verstanden.
Und jetzt:

$\begin{eqnarray*} \left ( \sum_{k=1}^{n} a_1\cdot q^{k-1} \right ) + a_1\cdot q^{(n+1)-1} = a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Oder wie? traurig

traurig

Vielen lieben Dank.

20.09.2014, 16:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es nicht so aufschreiben wie du, also direkt das Ergebnis auf der rechten Seite.

Schreibe es lieber so auf:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n a_1\cdot q^{k-1}\right)+a_1\cdot q^{n}=\dotso=\dotso=a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Also eher als "Gleichungskette". Du formst also solange die linke Seite um bis du die Form der rechten Seite erhältst.

Irgendwo im Laufe dieser Umformungen musst du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Tipp: Wende sie direkt an.

Wie Mulder schon sagte ist der Rest einfach Umformungen, welche nicht so schwer sein sollten.

20.09.2014, 16:36

Der-Schüler

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Hm aber die Induktionsvoraussetzung ist doch
$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$
oder?

20.09.2014, 16:37

Gast11022013

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Nein, gucke dir noch einmal genau an was du im Induktionsanfang gezeigt hast.

20.09.2014, 16:41

Der-Schüler

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Hm also:

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

20.09.2014, 16:48

Gast11022013

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Ja. Setze dies also entsprechend ein. Wie?

20.09.2014, 16:59

Der-Schüler

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So vielleicht:

$\begin{eqnarray*} a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} +a_1\cdot q^{n}=\dotso=\dotso=a_1\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Ich kapiere es nicht.... :/
Und jetzt das (linke Seite) umformen?

20.09.2014, 17:06

Gast11022013

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Ja, und jetzt fasse dies einfach zusammen.

20.09.2014, 17:13

Der-Schüler

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Hm was kann man da zusammenfassen, außer ausklammern von a1?

Da kommt ja anscheinend was unterschiedliches raus. :r

20.09.2014, 17:14

Gast11022013

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a_1 ausklammern ist schon mal hilfreich.
Ansonsten hast du ja einen Bruch und keinen Bruch...
Und wie fast man Brüche und "nicht-Brüche" zusammen?

20.09.2014, 17:30

Der-Schüler

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Nach erweitern:
$\begin{eqnarray*} a_{1} * (\frac{q^{n}*q-1}{q-1}) = a_{1} * (\frac{q^{n}*q-1}{q-1}) \end{eqnarray*}$

So richtig?

20.09.2014, 17:41

Gast11022013

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Eigentlich schon. Du solltest nur halt $\begin{eqnarray*} q^n\cdot q=q^{n+1} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.

20.09.2014, 18:35

Der-Schüler

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smile

Nur nochmal zur Kontrolle:

$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum\limits_{k=1}^n a_{1}*q^{k-1}=a_{1}*\frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ ,
wenn q ungleich 1,
(a_{n}) element der Geometrischen Zahlenfolgen.

1. Induktionsanfang:
für n=1
linke Seite: a1*q^(1-1)= a1
rechte Seite: a1*(q^1-1/q-1)=a1

2. Induktionsschritt:
2.1 Ind.voraussetzung: Es gelte...
$\begin{eqnarray*} s_{n} = \sum\limits_{k=1}^n a_{1}*q^{k-1}=a_{1}*\frac{q^{n}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

2.2. Ind.beweis: Dann gilt auch...
$\begin{eqnarray*} s_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{1}*q^{k-1} = \sum\limits_{k=1}^n a_{1}*q^{k-1} + a_{1}*q^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

3. Beweis
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^n a_{1}*q^{k-1} + a*q^{n} =<br /> a_{1}* \frac{q^{n}-1}{q-1} + a_{1}*q^{n} =<br /> a_{1} * (\frac{q^{n+1}-1}{q-1}) = a_{1} * (\frac{q^{n+1}-1}{q-1})<br /> \end{eqnarray*}$
q.e.d

So korrekt? smile

smile

20.09.2014, 18:50

Gast11022013

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Ja. Du hast halt nur einpaar Fehler in der Notation gemacht über die ich aber mal hinwegsehe.
Zum Beispiel, dass du den Bruch falsch klammerst, aber ich gehe mal in diesen Fällen davon aus, dass du es eigentlich richtig meinst.

Was du jedoch kenntlich machen solltest ist an welcher Stelle du die Induktionsvoraussetzung verwendest. Da könntest du zum Beispiel I.V über das Gleichheitszeichen kurz schrieben.

20.09.2014, 21:39

Der-Schüler

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Inordnung, das werde ich berichtigen.

Vielen lieben Dank für Eure ausführliche Hilfe!!

Grüße
der-schüler

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