Quadratwurzel rational?

18.09.2014, 23:50

Naryxus

Quadratwurzel rational?

Hallo,

ich arbeite gerade an einem kleinen Taschenrechner-Programm.
Aus Modellierungsgründen ist die Menge der rationalen Zahlen, die "genauste" Darstellungsmöglichkeit für Zahlen (für reelle Zahlen bräuchte ich ja unendlich viel Speicherplatz).
Nun möchte ich überprüfen, ob ich die Quadratwurzel einer Zahl rational darstellen kann. Ist dies nicht der Fall, würde ich dann gerne keinen Näherungswert ausgeben, sondern lediglich "das Wurzelzeichen".

Ich habe mir nun überlegt, ob folgendes stimmt:

Sei $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{p}, \sqrt{q} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Leider sind meine Beweiskünste etwas eingerostet.

Aber im Prinzip würde ich sagen "hin" ist trivial, denn wenn y rational ist, dann ist auch y^2 rational.
Für die Rückrichtung würde ich mit der Quotientenregel argumentieren, dass die Wurzel von x gleich der Wurzel von p durch die Wurzel von q ist. Unter der Voraussetzung, dass diese beiden Wurzeln natürliche Zahlen sind, ist dann y ebenfalls rational.

Ich hoffe mein kleiner Beweisansatz war verständlich.
Ich müsste also in meinem Programm nur überprüfen, ob ich die Wurzel aus Zähler und Nenner ziehen kann?

Grüße, Naryxus

19.09.2014, 00:58

Bernhard1

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Hallo Naryxus,

Dein Beweis ist mMn OK, aber das resultierende Verfahren sehr langsam, weil Du dann ja nach passenden Quadraten suchen, bzw. raten musst.

Wesentlich besser geht so etwas iterativ nach dem Newton-Verfahren. Um die Wurzel aus der Zahl a zu berechnen, sucht man hier iterativ nach der Nullstelle der Gleichung x² - a = 0.

19.09.2014, 01:06

Helferlein

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RE: Quadratwurzel rational?

Zitat:

Original von Naryxus
Sei $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{p}, \sqrt{q} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ohne weitere Einschränkungen wird das so aber nicht funktionieren.
Gegenbeispiel: $\begin{align*} \frac 22 \end{align*}$ ist rational, obwohl $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ keine natürliche Zahl ist.

19.09.2014, 10:32

Naryxus

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Hehe.
Danke. Ich hatte die ganze Zeit nach einem gegenbeispiel gesucht.

Und was ist, wenn ich davon ausgehe, dass der Bruch weitestmöglich gekürzt ist?

Edit:

Zitat:

Dein Beweis ist mMn OK, aber das resultierende Verfahren sehr langsam, weil Du dann ja nach passenden Quadraten suchen, bzw. raten musst.

Also das Wurzelziehen übernimmt ein anderes Programm für mich Augenzwinkern

Über die Effizienz wollte ich mir später Gedanken machen.
Mir geht es jetzt primär erstmal darum eine möglichst genaue Zahlendarstellung zu erreichen.
Wie schon oben angedeutet, würde ich gerne für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ erhalten und für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ soll entweder $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ herauskommen (über die genaue Darstellung bin ich mir hierbei noch nicht sicher).
Und dafür wollte ich eben überprüfen, ob die Wurzel rational darstellbar ist. Und dafür dann auch der schnelle Beweis.

Grüße

19.09.2014, 10:46

tmo

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Zitat:

Original von Naryxus
Und was ist, wenn ich davon ausgehe, dass der Bruch weitestmöglich gekürzt ist?

Dann ist die Aussage richtig. Aber als die triviale Richtung würde ich es nicht bezeichnen. Die andere Richtung war eher trivial.

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