Isomorphie der Gauß'schen Zahlen und algebraische Struktur |
| 19.09.2014, 20:44 | Saskon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
| Isomorphie der Gauß'schen Zahlen und algebraische Struktur Hi, ich soll etwas über die Gauß'schen Zahlen ausarbeiten, also die komplexen Zahlen der Form z=a+bi, wobei a und b ganze Zahlen sind. Die Aufgabenstellung ist: "Einführung der ganzen Gauß'schen Zahlen als kommutativer nullteilerfreier Ring mit 1 und dessen algebraische Struktur und Eigenschaften (Isomorphie zu ZxZ)." Mehr ist hier nicht gegeben. Dass es sich um einen komm., nullt.freien Ring mit 1-Element handelt, habe ich bereits gezeigt. Nun habe ich dazu gleich drei Fragen: 1. Was genau ist mit der "algebraischen Struktur" gemeint? 2. Was könnte mit den "Eigenschaften" gemeint sein? 3. Was genau ist mit der "Isomorphie zu ZxZ" gemeint? Meine Ideen: Zu 1: Wenn ich nach Wikipedia gehe, ist mit der algebr. Struktur eben jener Ring gemeint, den ich bereits gezeigt habe. Zu 2: Ich vermute fast, dass hier die Eigenschaften gemeint sind, die für 1. zu zeigen waren. Zu 3: Das habe ich zuerst so verstanden, dass an der Matrixdarstellung von komplexen Zahlen die Isomorphieeigenschaften gezeigt werden sollen. Doch das erscheint mir zu einfach, als dass es richtig wäre. Mein zweiter Gedankengang war, die komplexe Zahlenebene als Vektorraum herzunehmen und mit einem ZxZ-Vektorraum zu vergleichen. Allerdings habe ich hier noch keine Idee, wie ich da ansetzen soll. |
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| 19.09.2014, 21:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Hallo,
de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Struktur Algebraische Struktur meint so was wie betrachtet durch die Brille der Algebra, im gegensatz zu Analysis u.ä.
Welche speziellen Eigenschaften haben die ganzen gaußschen Zahlen als Ring. Mir würden da so Sachen wie euklidischer Ring - und die Konsquenzen daraus - einfallen oder wie die Einheiten und Primelemente des Rings aussehen.
Das frage ich mich auch. Das naheliegendste wäre eine Isomorphie von Ringen, die ist aber nicht erfüllt - hat Nullteiler. Als Modul ginge es, aber das ist nicht so wirklich spannend.
so was gibt es nicht. Vektorräume immer über Körpern. Die Verallgemeinerung dieses Begriffs heißt Modul. Vielleicht sollst du auch erstmal die begriffe wie kommutativer Ring, nullteilerfrei etc. erklären. |
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| 20.09.2014, 19:48 | Saskon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich verstehe immernoch, dass ich da zeigen soll, dass es sich um einen Ring handelt. Also das Kommutativgesetz in Addition und Multiplikation, sowie das Distributivgesetz zeigen. Diese Dinge habe ich soweit ausgearbeitet. Die Sache mit den Primelementen ist der zweite Teil der Aufgabe. Da ich mir das erst flüchtig angeschaut habe, hab ich es hier nicht erwähnt.
Na fein, dann schiebe ich das mal auf, bis ich den Professor sehe.
Danke, ich hatte mich schon gefragt, ob das ein Vektorraum ist, da wir den Begriff "Modul" nicht direkt behandelt hatten. Wahrscheinlich hatten wir das nur wieder indirekt besprochen, ohne diesen Begriff zu nennen. Kommt ja oft vor. Doch wegen den Nullteilersache brauche ich das hier nicht weiter ausarbeiten, glaube ich.
Komm. Ring: Kommutativität bei Addition und Multiplikation, Distributivgesetz, kein inverses Element bei Multiplikation (Ist das inverse Element bzgl. der Addition zu zeigen?) Nullteilerfrei: Laut Wikipedia gibt im es kein Element, mit Ausnahme der Null, sodass gilt. Laut einem Buch aus der HS-Bibliothek bedeutet es, dass die Kürzungsregel gilt: Beides ist schnell gezeigt. |
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