Infimum von Menge beweisen

20.09.2014, 01:26

WorstNightmare

Infimum von Menge beweisen

Meine Frage:
Ich bin gerade bei der Klausurvorbereitung und bei einer Übungsaufgabe sollte man das Infimum folgender Menge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ 2^{-p} + 3^{-q} + 5^{-r} \in \mathbb Q | p, q, r \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

Es gilt offensichtlich Inf(A) = 0, doch leider habe ich den Beweis nicht mitgeschrieben.

Meine Ideen:
Wenn 0 wirklich das Infimum ist, lässt sich für alle Werte größer 0 ein Element in der Menge finden, das kleiner ist.

$\begin{eqnarray*} \forall d > 0 : \exists p, q, r \in \mathbb N : 2^{-p} + 3^{-q} + 5^{-r} < d \end{eqnarray*}$

Bei einer Variable wäre das Vorgehen jetzt, die Ungleichung nach ihr umzustellen, sodass egal welche größere untere Schranke vorgeschlagen wird, immer eine Belegung gefunden wird, bei der sich herausstellt, dass es keine untere Schranke sein kann. Wenn man das hier macht, erhält man:

$\begin{eqnarray*} p > log_{2}{\frac{1}{d - 3^{-q} - 5^{-r}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q > log_{3}{\frac{1}{d - 2^{-p} - 5^{-r}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r > log_{5}{\frac{1}{d - 2^{-p} - 3^{-q}}} \end{eqnarray*}$

Ist das ein gültiger formaler Beweis? Ich kann es mir irgendwie nicht vorstellen, zumal die 3 jeweils voneinander abhängen...

20.09.2014, 02:02

Mulder

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RE: Infimum von Menge beweisen
Offenbar sind ja alle Summanden positiv. 0 ist also auf jeden Fall schon mal eine untere Schranke. Zu beweisen ist nun noch, dass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die größte untere Schranke ist.

Nehmen wir nun mal an, dass $\begin{eqnarray*} S>0 \end{eqnarray*}$ eine weitere untere Schranke sei. Betrachte z.B. den Summanden $\begin{eqnarray*} 2^{-q} \end{eqnarray*}$ . Wir können auf jeden Fall ein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} 2^{-q}< \frac S 3 \end{eqnarray*}$ ist.

Das deckt sich mit dem, was du schon kennst:

Zitat:

Bei einer Variable wäre das Vorgehen jetzt, die Ungleichung nach ihr umzustellen, sodass egal welche größere untere Schranke vorgeschlagen wird, immer eine Belegung gefunden wird, bei der sich herausstellt, dass es keine untere Schranke sein kann.

Mit den anderen beiden Summanden kannst du ähnlich vorgehen.

Es ergibt sich ein Widerspruch, wenn du dann mal die Summe betrachtest.

20.09.2014, 21:08

WorstNightmare

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Dann lassen sich q und r finden mit $\begin{eqnarray*} 3^{-q} < \frac{S}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5^{-r} < \frac{S}{3} \end{eqnarray*}$ .

Addiert man die Ungleichungen erhält man:

$\begin{eqnarray*} 2^{-p} + 3^{-q} + 5^{-r} < \frac{S}{3} + \frac{S}{3} + \frac{S}{3} = S \end{eqnarray*}$

...was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass $\begin{eqnarray*} S > 0 \end{eqnarray*}$ eine weitere untere Schranke ist. Perfekt. Vielen Dank!

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