Stochastik Anordnungen

20.09.2014, 08:59

bliblub

Stochastik Anordnungen

Meine Frage:
Hallo, ich sitze an der folgenden Aufgabe:

Für ein Foto sollen 3n Personen (n aus N) unterschiedlicher Größe zur Kamera gerichter in drei Reihen der Länge n aus N aufgestellt werden. (Man hat drei gleich lange Reihen hintereinander, das Foto wird von vorne gemacht)

a)Wie viele mögliche Anordnungen gibt es, wenn die Person vorne jeweils kleiner sein soll als die hinter ihr stehende?

b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Anordnung die Person vorne jeweils kleiner ist als die hinter ihr stehende?

Meine Ideen:
Bei a) habe ich folgende Idee:

für den ersten Platz gibt es erstmal (3n)! Möglichkeiten die Personen zu verteilen auf die drei Reihen, wenn man die Größe nicht beachtet. Wenn man jetzt nur Personen die größer sind in zweite Reihe stellt drittelt sich die Möglichkeit. Und für die dritte Reihe drittelt sie sich erneut. Für den zweiten Platz in der Reihe das gleiche.
Daher würde ich sagen, es gibt $\begin{eqnarray*} \frac{(3n)!}{3^{n}} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten die Personen anzuordnen.
Bei b) denke ich, dass ich dass ich die Anzahl der Möglichkeiten aus a) nutze, ist es vielleicht einfach die Anzahl der Möglichkteiten aus a) geteilt durch (3n)!?

20.09.2014, 09:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von bliblub
Daher würde ich sagen, es gibt $\begin{eqnarray*} \frac{(3n)!}{3^{n}} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten die Personen anzuordnen.

Nein, es sind $\begin{align*} \frac{(3n)!}{(3!)^n} = \frac{(3n)!}{6^n} \end{align*}$ Varianten: Pro "Spalte" erfüllt genau eine von $\begin{align*} 3!=6 \end{align*}$ Permutationen die geforderte aufsteigende Größenbedingung.

Bei b) hast du (mit der nunmehr veränderten Anzahl in a)) allerdings Recht.

20.09.2014, 09:20

bliblub

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Super, vielen lieben Dank. Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor, ich habe noch eine Aufgabe, die so ähnlich ist von einem Übungzettel, vielleicht kannst du mir dabei auch einmal helfen.
An sich ist es die gleiche Aufgabe nur mit 2n Personen, jedoch sind es jetzt keine Reihen hintereinander sondern nebeneinander (zwei Stück). Also so: | | und die Kamera kommt wieder von vorne. Wie komme ich denn denn da auf die Anzahl der Anordnungen, wenn ich wieder nur größere hinten stehen habe? Erstmal gibt es ja wieder (2n)! Möglichkeiten, die Personen anzuordnen. Und wie geht es dann weiter?

20.09.2014, 09:43

HAL 9000

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Nun, an sich genauso:

Nunmehr umfasst die Spalte nicht 3, sondern n Personen, es ist also nur genau eine von $\begin{align*} n! \end{align*}$ Anordnungsmöglichkeiten in der richtigen aufsteigenden Ordnung. Und das ganze diesmal für zwei Spalten.

Also allgemein für $\begin{align*} r \end{align*}$ Reihen zu je $\begin{align*} s \end{align*}$ Personen:

a) $\begin{align*} \frac{(rs)!}{(r!)^s} \end{align*}$

b) $\begin{align*} \frac{1}{(r!)^s} \end{align*}$

In deiner ersten Aufgabe $\begin{align*} r=3,s=n \end{align*}$ , in der zweiten Aufgabe dann $\begin{align*} r=n,s=2 \end{align*}$ .

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