Verteilungsfunktion, Dichte

20.09.2014, 17:09

blibblub

Verteilungsfunktion, Dichte

Meine Frage:
Ich habe eben probiert die folgende Aufgabe zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob meine Ergebnisse stimmen:

Für die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x):= \begin{cases} c\cdot x^{-6} ; x \in \left[1,\infty \right[ \\ 0 ; sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

bestimme man

a) die Konstante c>0, so dass f die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf R ist.
b)die Verteilungsfunktion F zu f
c)E(X) und Var(X) von X für eine Zufallsvariable X mit Verteilung P
d)die Dichte der Verteilung von der Zufallsvariablen X²

Meine Ideen:
zu a) hier hatte ich den folgenden Ansatz:
$\begin{eqnarray*} 1=\int_1^\infty \! c\cdot x^{-6} \, dx \end{eqnarray*}$ und komme dann darauf, dass c=5 ist.
zu b) da habe ich dann die Stammfunktion von f(x) mit c=5 gebildet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen
$\begin{eqnarray*} F(x):= \begin{cases} -x^{-5}+1 ; 1\leq x<\infty \\ 0 ; x<1 \end{cases} \end{eqnarray*}$
zu c) $\begin{eqnarray*} E(X)=\int_1^{\infty} \! x\cdot f(x) \, dx =5/4 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} Var(X)=\int_{-\infty} ^{\infty} \! x^{2}\cdot f(x) - E(X)^{2} \ = 5/48 \end{eqnarray*}$
zu d) da bin ich mir jetzt absolut unsicher, also mein Ansatz ist der folgende:
$\begin{eqnarray*} P(X^{2}\leq z)=P(-\sqrt{z} \leq x\leq \sqrt{z} )=\int_{-\sqrt{z}} ^{\sqrt{z}} \! f(x) \, dx =2\cdot \int_0^{\sqrt{z}} \! 5\cdot x^{-6} \, dx = -2\sqrt{z}^{-5} \end{eqnarray*}$

wäre super, wenn mal einer drüber gucken könnte! Danke!

20.09.2014, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von blibblub
zu d) da bin ich mir jetzt absolut unsicher, also mein Ansatz ist der folgende:
$\begin{eqnarray*} P(X^{2}\leq z)=P(-\sqrt{z} \leq x\leq \sqrt{z} ) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin Ok - ab jetzt kannst du doch b) nutzen:

$\begin{align*} \ldots = F\left(\sqrt{z}\right) - F\left(-\sqrt{z}\right) \end{align*}$ .

Außerdem sollte der Form halber nicht unerwähnt bleiben, dass diese Rechnung so nur für $\begin{align*} z\geq 0 \end{align*}$ gilt.

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