Jordansche Normalform - Verständnisfrage

Neue Frage »

Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform - Verständnisfrage
Es geht um die Jordansche Normalform in den komplexen Zahlen;

Hier mal ein paar Fakten/Vermutungen über das Thema.

1. Jedes Charakteristische Polynom in C zerfällt in Linearfaktoren. Die Jordansche Normalform exisitert, wenn das char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt, d.h. für eine quadratische, endlichdimensionale Matrix aus den komplexen Zahlen exisitert die Jordan Normalform immer;
2. Wenn A die nxn Matrix ist, dessen Jordanform ich berechnen will; Dann berechne ich das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom; Auf der Diagonalen kommen die Eigenwerte und zwar genauso oft, wie ihre algebraische Vielfachheit ist;
Die Größe des Jordanblocks ist die algebraische Vielfachheit im Minimalpolynom;

Ist das soweit richtig? Nun ein kleines Beispiel;
Das charakteristische Polynom einer 5x5 Matrix sei gegeben durch:

f(x)=(x-1)³(x-2)²,
das Minimalpolynom sei
m(x)=(x-1)²(x-2)

Dann trage ich als ersten Schritt die Eigenwerte auf die Diagonale ein, Oder? Also wäre das dann..



Dann weiß ich, dass zum Eigenwert 1 der größte Jordanblock die Größe 2 hat, also muss es entweder ein 2er und dann ein 1er Block sein oder andersrum;
Sind dann beide Lösungen in Ordnung und ich muss dementsprechend dann nur die Transformationsmatrizen aus den Eigenvektoren anders wählen oder ist hierbei nur eine Kombination möglich?
Ich gehe mal davon aus, dass zuerst ein 2er und dann ein 1er Block kommt; Da zum Eigenwert 2 der größte Jordanblock 1 ist, gibt es dort 2 1er Blöcke;
Nun füge ich in die Unterdiagonale (n-1) 1er pro Jordanblock hinzu, wobei n die Größe des Jordanblocks ist; In diesem Fall füge ich also nur eine 1 zum 2er Block hinzu..
d.h. meine Jordanform wäre gegeben durch;



Stimmt das jetzt so?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ja.
2) Ja.

Zitat:
Sind dann beide Lösungen in Ordnung und ich muss dementsprechend dann nur die Transformationsmatrizen aus den Eigenvektoren anders wählen oder ist hierbei nur eine Kombination möglich?

Die Jordan-Normalform ist nur bis auf Permutation der Jordanblöcke eindeutig, also stimmt beides.
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Wink

Vielen, vielen Dank für deine Antwort!! smile
Jetzt geht es an die Basis;

Ich weiß, dass X^(-1)*A*X mit einer geeigneten Matrix X eine Jordanform besitzt..
Wie ich X erhalte, ist mir allerdings noch nicht klar..

Also: Zum Eigenwert 2 ist die algebraische Vielfachheit des Minimalpolynoms 1, also stimmt geometrische und algebraische Vielfachheit zum Eigenwert 2 überein und damit erhalte ich, wenn ich Ker(A-2E5) berechne, 2 Eigenvektoren;
Zum Eigenwert 1 funktioniert das aber nicht; Wie verfahre ich dort?
Sorry, bei der Basisberechnung kenne ich mich gar nicht aus und bin aus den Anleitungen irgendwie nie so richtig schlau geworden..
smile
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schiebe das Thema nochmals nach oben... Kann mir da vielleicht jemand helfen, vor meiner Prüfung morgen früh? smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »