Gleichmäßige Konvergenz widerlegen.

20.09.2014, 17:37

Benni91

Gleichmäßige Konvergenz widerlegen.

Meine Frage:
Hallo, augenscheinlich ist diese Aufgabe ganz einfach... es ärgert mich gerade richtig, dass ich sie nicht hinbekomme -.-

Zeigen sie, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb R , x \mapsto x^{n} \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig konvergiert.

Zunächst mal ist die Grenzfunktion offensichtlich $\begin{eqnarray*} $ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls }x<1\\ 1, & \mbox{falls } x=1\end{array}\right. $ \end{eqnarray*}$

Man sieht direkt, dass diese nicht stetig ist, weshalb die Funktionenfolge nicht gleichmäßig Konvergent sein kann.

Ich möchte die Aufgabe aber ohne das Stetigkeitskriterium lösen.

Meine Ideen:
Ich habe also folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists \ \varepsilon >0 \quad \forall \ N_{\varepsilon} \in \mathbb N \quad \exists \ n \geq N_{\varepsilon} \quad \exists \ x\in [0,1] \ : \ | f_{n} - f(x) | \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Nun habe ich allerdings keine Ahnung, wie ich das Epsilon wählen soll bzw wie ich zu einem gegebenen N ein geeignetes n und x finden soll...
Das muss irgendwas mit der 1 im Definitionsbereich zu tun haben, weil die Funktionenfolge im offenen Teil (0,1) meines Wissens nach gleichmäßig konvergiert.

20.09.2014, 18:24

Huy

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Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 1/2 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig. Es gilt ein $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass $\begin{eqnarray*} x^N \geq 1/2 \end{eqnarray*}$ . Wie musst du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wählen?

MfG

20.09.2014, 19:43

Benni91

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Na dann wähl ich mir ein x in $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt[N]{1/2}\ ,\ 1 \right) \end{eqnarray*}$ und... das wars schon???
Als n nehm ich dann einfach N und alle Bedingungen sind erfüllt...

Aber dann ist doch die Funktionenfolge auch nicht gleichmäßig Konvergent, wenn ich das Intervall offen mache und die 1 rauslasse... hab ich da etwas übersehen? Weil in irgendeinem Buch stand, dass die glm. Konvergent ist.

20.09.2014, 20:04

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Benni91
Aber dann ist doch die Funktionenfolge auch nicht gleichmäßig Konvergent, wenn ich das Intervall offen mache und die 1 rauslasse... hab ich da etwas übersehen? Weil in irgendeinem Buch stand, dass die glm. Konvergent ist.

Richtig, auch im Intervall (0,1) ist die Funktionenfolge f_n nicht gleichmäßig konvergent...

Erst wenn du ein Intervall (0,c) mit 0 < c < 1 wählst, erhältst du eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge...

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