Konstante einer Dichtefunktion

20.09.2014, 18:09

LisaLu

Konstante einer Dichtefunktion

Bestimmen Sie die Konstante a, so dass
$\begin{eqnarray*} f(X=x)=\begin{cases}a(x-x²) & 0\leq x\leq 1 \\ 0 & sonst \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist.

$\begin{eqnarray*} a= \end{eqnarray*}$

Ich hab keinen Schimmer was ich jetzt machen muss unglücklich

20.09.2014, 18:13

10001000Nick1

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Was sind denn die Eigenschaften einer Dichtefunktion?

20.09.2014, 18:31

LisaLu

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Es muss gelten
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}fx(x)=1 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}a(x-x²)dx=1 \end{eqnarray*}$

Dummerweise ist das mit den Integralen so weit her, dass ich keine Ahnung mehr hab, wie ich vorgehen muss.

20.09.2014, 18:33

10001000Nick1

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Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein konstanter Faktor, kann also vor das Integral gezogen werden.
Und $\begin{eqnarray*} x-x^2 \end{eqnarray*}$ zu integrieren, sollte ja nicht allzu schwer sein. smile

20.09.2014, 18:45

LisaLu

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Dann haben wir also
$\begin{eqnarray*} a\int\limits_{0}^{1}(x-x^2)dx \end{eqnarray*}$
für x setze ich die 1 aus $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ein.
Hab dann also $\begin{eqnarray*} a\int\limits_{0}^{1}(1-1^2)dx \end{eqnarray*}$
Aber wie mache ich das mit der Integration?

20.09.2014, 19:10

10001000Nick1

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Du musst erst die Funktion integrieren und danach die Grenzen einsetzen.
Was ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x-x^2 \end{eqnarray*}$ ?

20.09.2014, 19:30

LisaLu

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Müsste $\begin{eqnarray*} x^2-x^3 \end{eqnarray*}$ sein.

in diesem Fall also
$\begin{eqnarray*} 1^2-1^3 \end{eqnarray*}$
was doch aber

$\begin{eqnarray*} 1-1=0 \end{eqnarray*}$ wär.

20.09.2014, 19:34

10001000Nick1

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Die Stammfunktion stimmt nicht. Leite das mal ab, da kommst du nicht auf $\begin{eqnarray*} x-x^2 \end{eqnarray*}$ .

20.09.2014, 19:37

LisaLu

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Stimmt.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

20.09.2014, 19:39

10001000Nick1

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Und jetzt setzt du die Grenzen ein und kannst das Integral berechnen.

20.09.2014, 19:44

LisaLu

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Also 1 für x?

Das wären
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}1^2-\frac{1}{3}1^3=\frac{1}{2}^2-\frac{1}{3}^3=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in unser Ausgangsproblem wär es also
$\begin{eqnarray*} a\int\limits_{0}^{1}(x-x^2)dx=a*\frac{1}{6}=1 & \underline{\underline{ a=6}} \end{eqnarray*}$

20.09.2014, 19:49

10001000Nick1

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Zitat:

Original von LisaLu
Das wären
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}1^2-\frac{1}{3}1^3=\frac{1}{2}^{\textcolor{red}{2}}-\frac{1}{3}^{\textcolor{red}{3}}=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Die Exponenten gehören da nicht hin.
Man muss natürlich auch noch die untere Grenze in die Stammfunktion einsetzen und das dann subtrahieren. Da da aber 0 rauskommt, ändert sich dadurch nichts.

a=6 ist richtig. smile

20.09.2014, 19:55

LisaLu

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Yay! die Exponenten hab ich wohl beim C&P vergessen.

Klasse, die Zusatzinfo zur unteren Grenze hätte ich nämlich jetzt gefragt. Ist also immer nur Ergebnis obere Grenze - Ergebnis untere Grenze?

20.09.2014, 19:59

10001000Nick1

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Nicht "Obere Grenze minus untere Grenze", sondern die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen und dann die Werte voneinander subtrahieren.
Wenn also $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ .

20.09.2014, 20:02

LisaLu

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Meinte ich. Super, Danke. Blumen

Hast evtl. noch Zeit für das Wahrscheinlichkeitsproblem?

21.09.2014, 17:55

LisaLu

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Wieder eine Aufgabe mit Dichtefunktion bei der ich nicht weiterkomme :-(

"Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X sei:
$\begin{eqnarray*} FX(x)=\begin{cases}\theta x^{\theta -1} & 0\leq x\leq 1 \\ 0 & sonst \end {cases} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie den Erwartungswert von X."

Für die Dichtefunktion muss ja wieder gelten
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! fX(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$
Also hier
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x \theta x^{\theta -1}\, dx =1 \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ kann ich vor ziehen, hab dann
$\begin{eqnarray*} x \theta \int_0^1 \! x^{\theta -1}\, dx =1 \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor??

EDIT: Komisch, dass mir einige Ideen erst kommen, wenn ich hier poste. Egal, wieviel ich vorher aufgeschrieben & nachgeschaut hab ^^

Wenn ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^{\theta -1}\, dx = F(1)-F(0) \end{eqnarray*}$

nehme, müsste es ja passen, denn
$\begin{eqnarray*} 0^\infty=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 1^\infty=1 \end{eqnarray*}$ .

Daher kann mir das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ doch egal sein, denn $\begin{eqnarray*} = F(1)-F(0)=1 \end{eqnarray*}$

Oder hab ich mich vertan?

21.09.2014, 18:31

10001000Nick1

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Zitat:

Original von LisaLu
Also hier
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x \theta x^{\theta -1}\, dx =1 \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn das erste x her?

Zitat:

Original von LisaLu
das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ kann ich vor ziehen, hab dann
$\begin{eqnarray*} x \theta \int_0^1 \! x^{\theta -1}\, dx =1 \end{eqnarray*}$

Und selbst, wenn das x da richtig wäre, darfst du es nicht vor das Integral ziehen; es ist doch kein konstanter Faktor.

Zitat:

Original von LisaLu
$\begin{eqnarray*} 0^\infty=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 1^\infty=1 \end{eqnarray*}$ .

Was willst du mir damit sagen? Bei solchen Aussagen (mit Unendlich) wäre ich immer vorsichtig.

Und auch der Rest ist irgendwie ein bisschen durcheinander. Schreib am besten mal auf, wie man den Erwartungswert berechnet.

21.09.2014, 18:48

LisaLu

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hab ich aus der Formel für den Erwartungswert übernommen.

$\begin{eqnarray*} E(x)=\int_{-\infty} ^{\infty} \! x*f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

21.09.2014, 18:49

10001000Nick1

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Und wieso hast du geschrieben, dass das gleich 1 sein müsse?
Das Integral kannst du jetzt berechnen und hast dann den Erwartungswert.

21.09.2014, 19:00

LisaLu

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Weil das doch die Eigenschaft einer Dichtefunktion ist.

21.09.2014, 19:07

10001000Nick1

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Es muss gelten $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$ gelten, nicht $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! x\cdot f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$ (was du geschrieben hast).

Mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$ kannst du hier bestimmen, welche(n) Wert(e) $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ annehmen darf, damit f eine Dichtefunktion ist (das ist hier zwar nicht gefragt, kannst du ja aber trotzdem mal machen).

Du sollst hier den Erwartungswert berechnen, und das macht man mit $\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^\infty \! x \cdot f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

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