Rekursionsgleichung

20.09.2014, 23:09

0664jester

Rekursionsgleichung

Hallo,

Kann da mal jemand nachsehen, ob das so stimmt?

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} - a_{n+1} - 3a_{n} = 2^{n} wobei n\geq 0, a_{0} = 1, a_{1} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n+2} x^n - \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n+1} x^n - \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^n =\sum\limits_{n=0}^\infty (2x)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty a_{n} x^{n-2} -\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} x^{n-1} - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{-2}A(x) - x^{-1}A(x) - 1 - §A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{1+1-2x}{(1-2x)(x^{-2}-x^{-1} -3 } \end{eqnarray*}$

Gruß,
jester

21.09.2014, 09:31

0664jester

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RE: Rekursionsgleichung
Kennt jemand einen Onlinerechner, wo ich das ergebnis überprüfen kann?

21.09.2014, 12:08

HAL 9000

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Eine kurze Erwähnung, dass du die erzeugende Funktion $\begin{align*} A(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n \end{align*}$ bestimmen willst, hätte wohl nicht geschadet...

In der Rechnung sind einige Fehler drin:

1) Fehlende Klammern: Statt $\begin{align*} -x^{-1}A(x)-1 \end{align*}$ sollte da eher $\begin{align*} -x^{-1}(A(x)-1) \end{align*}$ stehen.

2) $\begin{align*} \sum\limits_{n=2}^\infty a_{n} x^{n-2} = x^{-2}A(x) \end{align*}$ wäre allenfalls dann richtig, wenn $\begin{align*} a_0=a_1=0 \end{align*}$ ist - stimmt hier aber nicht. Im Mittelterm hast du es (siehe 1)) doch mit einer diesbezüglichen Korrektur versucht - warum nicht auch hier im ersten Term? verwirrt

21.09.2014, 15:53

0664jester

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Die drei korrigiert zeilen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n+2} x^n - \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n+1} x^n - \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^n =\sum\limits_{n=0}^\infty (2x)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty a_{n} x^{n-2} - a_{0}x^0 - a_{1}x^1 -\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} x^{n-1} - a_{0}x^0 - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{-2}(A(x) - 1 -2x) - x^{-1}(A(x) -1) - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) (x^{-2} - x^{-1} -3) - x^{-2} - 2x^{-1} + x^{-1} = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(x) = \frac{\frac{1}{1-2x} - x^{-2} - x^{-1} }{ (x^{-2} - x^{-1} -3)} \end{eqnarray*}$

21.09.2014, 17:11

HAL 9000

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Die Zeile

Zitat:

Original von 0664jester
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty a_{n} x^{n-2} - a_{0}x^0 - a_{1}x^1 -\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} x^{n-1} - a_{0}x^0 - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{eqnarray*}$

ist komplett falsch, aber die nächsten beiden stimmen wieder - wie auch immer du das gemacht hast.

Bei der Umstellung zur letzten Zeile hin haben sich aber einige Vorzeichenfehler im Zähler eingeschlichen. Und die Form der Darstellung als Doppelbruch ist auch nicht gerade erhebend - du solltest das noch in einen einfachen Bruch überführen.

P.S.: Vermutlich hast du statt der oberen Zeile

$\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n-2} - a_{0}x^{-2} - a_{1}x^{-1} -\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n-1} + a_{0}x^{-1} - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{align*}$

gemeint...

22.09.2014, 08:56

0664jester

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Zitat:

Original von HAL 9000

P.S.: Vermutlich hast du statt der oberen Zeile

$\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n-2} - a_{0}x^{-2} - a_{1}x^{-1} -\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n} x^{n-1} + a_{0}x^{-1} - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{align*}$

gemeint...

Gehört diejetzt nicht so? verwirrt

$\begin{align*} \sum\limits_{n=2}^\infty a_{n} x^{n-2} - a_{0}x^{-2} - a_{1}x^{-1} -\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} x^{n-1} + a_{0}x^{-1} - 3A(x) = \frac{1}{1-2x} \end{align*}$

Ich meine n soll jetzt nicht bei 0 beginnen beim summenzeichen.

22.09.2014, 10:08

HAL 9000

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Also nochmal, diesmal ganz, ganz langsam - nur mal am Beispiel des ersten Terms (links):

Ursprünglich hattest du den Term

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^n \end{align*}$ .

Dann hast du eine Indexverschiebung um 2 nach oben gemacht:

$\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} a_n x^{n-2} = x^{-2}\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n \end{align*}$ .

Um jetzt die Summe bei n=0 statt wie jetzt bei n=2 beginnen zu lassen (in Hinblick auf das einzusetzende A(x)), musst du die beiden neu hinzukommenden Terme für n=0 und n=1 als Korrektur wieder subtrahieren:

$\begin{align*} x^{-2}\left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n - a_0x^0 - a_1x^1 \right) = x^{-2}\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n - a_0x^{-2} - a_1x^{-1} \end{align*}$ .

22.09.2014, 22:11

0664jester

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habs jetzt Freude

23.09.2014, 21:38

0664jester

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man könnte die angabe umschreiben, oda? Dann würde ich mich leichter tun mit der Indexverschiebung.

$\begin{eqnarray*} a_{n} - a_{n-1} - 3a_{n-2} = 2^{n-2} \end{eqnarray*}$

das hat jemand anders gemacht. Das Ergebnis wird immer eigenartiger geschockt

[attach]35463[/attach]

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