Beweis ggT

21.09.2014, 10:43	baxbear	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis ggT Meine Frage: Hallo, ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} ggT(a_1,...,a_k)=ggT(a_1,ggT(a_2,...,a_k)) \end{eqnarray}$ und weiß nicht so recht wie ich die Lösung mathematisch formulieren kann. Meine Ideen: um dies zu zeigen würde ich einfach a1 bis ak in Form von Primzahlen darstellen: $\begin{eqnarray} a_1=p_{1.1}...p_{1.k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_k=p_{k.1}...p_{k.k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{1.1}...p_{k.k}\in\mathbb{P} \end{eqnarray}$ und jetzt müsste ich zeigen, dass ich die, die in allen a's auftreten übernehme (auch die bei allen a's mehrfach auftreten) ich dann immer die gleichen Faktoren über behalte. Allerdings habe ich keine Ahnung wie man sowas formuliert, ich wäre also dankbar wenn mir jemand die Lösung mathematisch korrekt ausformulieren könnte.
21.09.2014, 12:55	baxbear	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis ggT Ok, ich habe jetzt einen anderen Weg über die Teiler gefunden also abgeleitet aus dem Satz $\begin{eqnarray} t\|a\wedge t\|b\Leftrightarrow t\|ggT(a,b) \end{eqnarray}$ Mich würde trotzdem interessieren ob man es auch sinnvoll über die Primzahlen erläutern kann.
21.09.2014, 13:46	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten die kanonischen Primfaktorzerlegungen $\begin{eqnarray} a_i = \prod_{p \; \text{prim}} p^{\nu_i(p)} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \nu_i(p) \end{eqnarray}$ hier für die Vielfachheit eines Primteilers $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ steht. Dann gilt bekanntlich $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a_1, \ldots, a_n) = \prod_{p \; \text{prim}} p^{\alpha(p)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha(p) = \min(\nu_1(p), \ldots, \nu_n(p)) \end{eqnarray}$ . Entsprechend ergibt sich $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a_2, \ldots, a_n) = \prod_{p \; \text{prim}} p^{\beta(p)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta(p) = \min(\nu_2(p), \ldots, \nu_n(p)) \end{eqnarray}$ . Abschließend haben wir so $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a_1, \mathrm{ggT}(a_2, \ldots, a_n)) = \prod_{p \; \text{prim}} p^{\min(\alpha(p), \beta(p))} \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} \min(\alpha(p), \beta(p)) = \alpha(p) \end{eqnarray}$ . Dies zu zeigen, ist recht einfach.

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