Wurzeln auflösen

16.08.2004, 14:15

alphager

Wurzeln auflösen

Ich hoffe das zählt nicht als Spam; Ich habe einige Übungsaufgaben und habe seit 1,5 Jahren kein Mathe mehr gehabt.

Ich brauch mal wieder einen tipp:
Löse nach x auf
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x + 8} + \sqrt{x -1} = 9 \end{eqnarray*}$

16.08.2004, 14:24

kurellajunior

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RE: Wurzeln auflösen
Hallo,

Geht glaub ich nur mit Denken. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss eine ganze Zahl sein. Aus
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$
folgt das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl plus 1 ist:
$\begin{eqnarray*} 5;10;17;26 \end{eqnarray*}$
Eine Addition dieser Zahlen plus 8 muss ebenfalls eine Quadratzahl sein, also
$\begin{eqnarray*} 13;18;25;34 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=17 \end{eqnarray*}$

16.08.2004, 14:30

alphager

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Wieso muss x denn eine ganze Zahl sein ?
Gibt es keinen Alternativen Weg, auf 17 zu kommen ?

16.08.2004, 14:33

kurellajunior

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Weil Wurzel minus Wurzel nur dann ganzzahlig ist, wenn beide Wurzeln ganzzahlig sind.
Mir fällt grad keiner ein, vielleicht hat jemand anders noch ne schlaue Idee verwirrt

16.08.2004, 14:46

therisen

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Ich hab einen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {x+8}+\sqrt {x-1}=9 \end{eqnarray*}$ | Quadrieren (=>Später Probe machen)
$\begin{eqnarray*} 2\,x+7+2\,\sqrt {x+8}\sqrt {x-1}=81 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\,\sqrt {x+8}\sqrt {x-1}=74-2\,x \end{eqnarray*}$ |erneut Quadrieren
$\begin{eqnarray*} 4\, \left( x+8 \right) \left( x-1 \right) = \left( 74-2\,x \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch auflösen und dann die Probe machen. 17 kommt dann raus.

Gruß, therisen

16.08.2004, 14:48

Bruce

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Geht auch ohne Denken, rein mechanisch nach Schema f:

Setze in der Gleichung
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x-1}. \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y^2+9}+y=9 \Leftrightarrow y^2+9 = (9-y)^2 \Leftrightarrow y = 4. \end{eqnarray*}$

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x-1} = 4\Rightarrow x = 17. \end{eqnarray*}$

Buschmann

16.08.2004, 16:40

Leopold

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RE: Wurzeln auflösen

Zitat:

Original von kurellajunior
Geht glaub ich nur mit Denken. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss eine ganze Zahl sein.

Es geht zwar mit Denken, wenn man nämlich unterstellt, daß x eine ganze Zahl sein muß. Aber das ist nicht von vorneherein klar.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+9} + \sqrt{x-1} = 9 \end{eqnarray*}$
hat die Lösung
$\begin{eqnarray*} x = \frac{5365}{324} = 16,5586... \end{eqnarray*}$

Und diese ist nicht besonders ganz.

17.08.2004, 11:03

alphager

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Danke !

aber was meinst du mit Probe, Therisen ?

17.08.2004, 11:09

kurellajunior

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RE: Wurzeln auflösen
Sorry,

Hab heut morgen unter der Dusche festgestellt, das x keine ganze zahl sein muss. Uups. :P
Danke Leopold. Gott

17.08.2004, 11:36

Professer

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Lösungsmenge
ax+b=0 , 1 Lösung
ax²+bx+c=0 , 2 Lösungen
ax³+bx²+cx+d=0 , 3 Lösungen
usw
Nach diesem Schema müsste Wurzel(ax+b)=0 nur 1/2 Lösung haben.
Man bekommt aber oft eine ganze Lösung. Ist das nicht ein Wunder?!

Profiesser

17.08.2004, 11:45

kurellajunior

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RE: Lösungsmenge

Zitat:

Original von Professer
Nach diesem Schema müsste Wurzel(ax+b)=0 nur 1/2 Lösung haben.
Man bekommt aber oft eine ganze Lösung. Ist das nicht ein Wunder?!

NE bei Deiner Logix hätte
$\begin{eqnarray*} a_1x^{\frac{1}{2}}+a_2x^{-\frac{1}{2}}+\cdots+a_nx^{\frac{1}{2}-(n-1)} \end{eqnarray*}$
genau 0,5 Lösungen!

17.08.2004, 11:53

therisen

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Zitat:

Original von alphager
aber was meinst du mit Probe, Therisen ?

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ |Quadrieren
$\begin{eqnarray*} x^2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => x_1=2; x_2=-2 \end{eqnarray*}$

Probe: 2 = 2 (korrekt); -2 = 2 (falsch!) => Es gibt nur eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

17.08.2004, 12:21

alphager

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Jetzt weiß ich, warum ich im Abi in Mathe nur 10 Punkte bekam...

DANKE !

17.08.2004, 12:23

Leopold

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RE: Wurzeln auflösen

Zitat:

Original von kurellajunior
Sorry,

Hab heut morgen unter der Dusche festgestellt, das x keine ganze zahl sein muss. Uups. :P
Danke Leopold. Gott

Bitte.
Was wieder einmal beweist, daß eine Dusche am Morgen nicht nur den Körper reinigt!

17.08.2004, 12:52

kurellajunior

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RE: Wurzeln auflösen
:P Wie wahr...

17.08.2004, 22:23

Ben Sisko

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RE: Wurzeln auflösen

Zitat:

Original von Leopold
Was wieder einmal beweist, daß eine Dusche am Morgen nicht nur den Körper reinigt!

Wenn man nur ganz kurz reingeht und schnell hin und her springt kann man das mit der Körperreinigung aber vielleicht noch vermeiden...

17.08.2004, 22:54

therisen

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RE: Wurzeln auflösen

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Leopold
Was wieder einmal beweist, daß eine Dusche am Morgen nicht nur den Körper reinigt!

Wenn man nur ganz kurz reingeht und schnell hin und her springt kann man das mit der Körperreinigung aber vielleicht noch vermeiden...

Ich erlaube mir diesen Satz mal minimal umzuformulieren:

Wenn man nur ganz kurz reingeht und schnell hin und her springt kann man sogar das mit der Körperreinigung noch vermeiden...

LOL Hammer

18.08.2004, 14:08

Gast

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Zu der Signatur:

Ich frag mich warum darf man denn eigentlich nicht durch null teilen?

man darf doch auch null durch eine zahl teilen...

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