Vorzeichen Permutation

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briefmarke Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichen Permutation
Hallo Leute,

habe hier eine Aufgabe bei der ich leider nicht wirklich weiterkomme.

Aufgabenstellung:

Sei n>=4 eine natürliche Zahl. Seien r,t Permutationen und sei t ein Zykel der Läge 4.

a) Wenn rt =rt(r^2)t, so folgt sign(r) = -1
b) Wenn rt =r(t^3)rt, so folgt sign(r) = -1
c) Wenn rt =r(t^3), so folgt sign(r) = -1
d) Wenn rt =r(t^2)r(t^2), so folgt r != id.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Ich verstehe hier den Zusammenhang nicht ganz, wenn 2 Permutationen multipliziert werden wie in aller Welt komm ich dann hier auf die rechte Seite und was hat das Vorzeichen damit zu tun? Ich weiß, das Vorzeichen berechnet man so: sign(r) = (-1)^(n-m-p)
m... Zykel
p... Fixpunkte

Hat jemand ne Idee wie diese Aufgabe zu verstehen ist bzw. nen Lösungsansatz?

MfG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorzeichen Permutation
Zitat:
Original von briefmarke
a)
b)
c)
d)


Erst mal solltest du dir klar machen, dass ein Gruppenhomomorphismus ist und dass eine Permutation mit Zykel 4 ungerade ist, also negatives Signum hat.

zu a) Dies führt auf einen Widerspruch, egal wie aussieht.

zu b) ist hier eindeutig bestimmt. Durch geeignete Multiplikationen mit kannst du die Gleichung vereinfachen.

zu c) Hier tritt ein Widerspruch zur Voraussetzung auf.

zu d) Wie in b) kannst du vereinfachen und eindeutig bestimmen. Es ginge auch, einen Widerspruch aufzuzeigen unter der Annahme
briefmarke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir vielmals für die Antwort, leider komm ich trotzdem noch nicht weiter, dass das Vorzeichen von t -1 ist ist mal ein guter Anfang, aber trotzdem verstehe ich nicht wie man diese Art von Aufgabe überhaupt angeht? Könntest du mir eventuell a,b,c oder d vorzeigen, sodass ich dann versuchen kann die anderen selbst zu lösen?

Ich versteh nämlich einfach nicht wie ich das angehen soll, soll ich für t dann immer -1 einsetzen oder wie?

Danke.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

sind Permutationen, also Elemente einer symmetrischen Gruppe , wobei die Gruppenmultiplikation das Hintereinanderschalten zweier Permutationen ist.

Ich hoffe, du weißt, was ein Gruppenhomomorphismus ist. und seien Gruppen. Wenn ein Gruppenhomomorphismus ist, dann gilt:
,
wobei bzw. die Gruppenmultiplikationen in bzw. sind.

Die Abbildung ist ein solcher Gruppenhomomorphismus ( ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2). Es gilt also für zwei Permutationen :


Transpositionen haben negatives Signum und zyklische Permutationen mit gerader Zykellänge werden durch eine ungerade Zahl von Transpositionen erzeugt. Deswegen haben solche Permutationen negatives Signum. Hat eine zyklische Permutation die Zykellänge m, dann ist ihr Signum durch gegeben.

Hast du nun z.B. in a) eine Gleichung , so kannst du die umformen, indem du geschickt die Gleichung rechts oder links mit oder multiplizierst:
.
Das Signum von ist auf alle Fälle 1, man käme also auf die Gleichung
,
was ein Widerspruch ist. Damit ist die Aussage in a) falsch. Versuche entsprechende Umformungen in b)-d).
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