Erwartungswert E(X^2)

21.09.2014, 18:33

Bennz

Erwartungswert E(X^2)

Meine Frage:
Hallo, ich möchte den Erwartungswert von X^2 berechnen. X ist eine stetige Zufallsvariable. Eine Dichtefunktion habe ich auch. Nach Definition sieht der Erwartungswert so aus: E(X) = Integral x*f(x) dx
Nach meinem Verständnis müsste ich nur x^2 und meine Dichtefunktion in die Formel einsetzten und sollte dann zum korrekten Ergebnis kommen.

Meine Ideen:
also so E(X^2) = Integral x^2*f(x^2) dx. Dies scheint aber laut der mir vorliegenden Musterlösung falsch zu sein. Dort steht nämlich es sei E(X^2) = Integral x^2*f(x) dx. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand erklären könnte, ob nun meine Annahme oder die mir vorliegende Lösung falsch ist.

22.09.2014, 09:18

Huggy

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RE: Erwartungswert E(X^2)
Die Musterlösung ist richtig.

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_X(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(X) \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} g(X) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x)dx \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} g(X)=X \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx \end{eqnarray*}$

und bei $\begin{eqnarray*} g(X)=X^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2f_X(x)dx \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} Y=g(X) \end{eqnarray*}$ . Man könnte $\begin{eqnarray*} E(Y)=E(g(X)) \end{eqnarray*}$ auch berechnen, indem man zuerst die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bestimmt und dann rechnet:

$\begin{eqnarray*} E(g(X))=E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy \end{eqnarray*}$

Dieser Weg ist aber meist schwieriger. Insbesondere ist

$\begin{eqnarray*} f_Y(y)\neq f_X(g(x)) \end{eqnarray*}$

was du eventuell angenommen hast. Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine streng monotone Funktion, so kann $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ über den sogenannten Transformationssatz bestimmt werden.

22.09.2014, 09:52

sixty-four

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Du kannst $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ übrigens auch aus dem Erwartungswert und der Streuung berechnen, wenn du diese beiden Werte schon kennst. Da der Erwartungswert ein linearer Operator ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} E(X-EX)^2 = E(X^2) - 2(E(X))^2 + E(X)^2 = E(X^2) - (E(X))^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = E(X-EX)^2 +(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

also die Summe aus dem Quadrat des Erwartungswertes und der Streuung.

22.09.2014, 10:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von sixty-four
Du kannst $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ übrigens auch aus dem Erwartungswert und der Streuung berechnen

Wobei bei unbekannten Verteilungen dieser Zusammenhang eher in der anderen Richtung genutzt wird: Die Berechnung der Varianz aus $\begin{align*} E(X^2) \end{align*}$ und $\begin{align*} E(X) \end{align*}$ . Augenzwinkern

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