Ist eine hölderstetige schwache Lösung bereits eine klassische Lösung?

22.09.2014, 14:38	pdgler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist eine hölderstetige schwache Lösung bereits eine klassische Lösung? Hallo alle zusammen, ich habe folgendes Regularitätsproblem bzgl. der semilinearen Wärmeleitungsgleichung: Ich würde gerne zeigen, dass die Lösung folgender Wärmeleitungsgleichung klassisch ist, i.e. $\begin{eqnarray} C^2 \end{eqnarray}$ im Raum und $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ in der Zeit: $\begin{eqnarray} -\partial_t u(x,t) - \Delta u(x,t) + \frac{1}{2} \vert Du(x,t) \vert^2 = f(x,t)) \end{eqnarray}$ mit Endbedingung $\begin{eqnarray} u(x,T) = g(x,T) \end{eqnarray}$ und wobei $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ lipschitzstetig im Raum, 1/2- hölderstetig in der Zeit ( $\begin{eqnarray} \in C^{0,1/2}(\mathbb{R}^n \times [0,T]) \end{eqnarray}$ ), i.e. $\begin{eqnarray} \vert f(x_1,t_1) - f(x_2,t_2)\vert \leq C(\Vert x_1 - x_2 \Vert_2 + \vert t_1 -t_2 \vert^{1/2}) \end{eqnarray}$ und zudem gleichmäßig beschr"ankt durch $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ sind. Dazu kann folgendes Resultat in "linear and quasilinear equations of parabolic type" (Ladyzhenska) gefunden werden: … unter obigen Voraussetzungen existiert genau eine schwache hölderstetige Lösung $\begin{eqnarray} u \in C^{2,1/2}(\mathbb{R}^n \times [0,T]) \end{eqnarray}$ (also hölderstetig bis zur zweiten Ableitung). Mit dem Maximumprinzip kann zudem gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \vert Du \vert \end{eqnarray}$ glm. beschränkt in x und t ist. Die Autoren des Papers das ich lese erwähnen nun mit keinem Wort, warum diese Lösung bereits klassisch ist (was sie auch zeigen wollen und auch benutzen). Deswegen frage ich mich ob eine schwache hölderstetige Lösung bereits eine klassische Lösung ist? Oder hat das etwas damit zu tun, dass aufgrund der glm. Beschr"anktheit von $\begin{eqnarray} \vert Du \vert \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} -\partial_tu - \Delta u = A, \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ stetig und glm. beschr"ankt in x und t löst? Dies nutzen die Autoren nämlich an späterer Stelle für etwas anderes (nutzen aber spätestens da, dass u klassisch ist). PDGL ist leider nicht mein Spezialgebiet.. ich benötige das Resultat aber leider und es würde mich auch sehr interessieren. Oder ist das Resultat in irgendeiner Weise trivial? Hat irgendjemand eine Idee oder weiß etwas darüber? Ich wäre für jeden Kommentar hierzu äußerst dankbar! Vielen vielen Dank!
23.09.2014, 15:51	pdgler	Auf diesen Beitrag antworten »
hat niemand eine Idee ?

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