Doppelpost! cantors kontinuum-hypothese

Neue Frage »

Harry Klopfer Auf diesen Beitrag antworten »
cantors kontinuum-hypothese
Meine Frage:
Was nützt uns die von Cantor unbewiesene Gleichung 2^unendlich = Unendlich 1 = c (Kardinalzahl des Kontinuums)? Und: Durfte Cantor nur aufgrund einer Vermutung diese Kardinalzahl namens c einfach als Aleph1 bezeichnen?

Meine Ideen:
Die Antwort der Frage 2 lautet meines Erachtens: Nein! Ein klares Nein!Wenn nämlich c = Aleph 1, dann hätte aleph null (die armseligste unendliche Mächtigkeit) keine Bedeutung mehr und wäre somit aus dem System Tau der unendlichen Kardinalzahlen ausgeschlossen.
Wenn allerdings c nichts anderes als das erste Aleph namens aleph null wäre und aleph null hoch aleph null = c hoch c = Aleph 1, könnte c als Grundelement reibungslos in die geordnete Menge unendlicher Kardinalzahlen eingegliedert werden.
Zu Hilberts erstem Problem mit der Frage, ob es eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die reellen Zahlen, folgende Antwort: Ein klares Ja! Beispiel Wurzel aus 2 und pi. Beide Zahlen sind irrational, d. h. auch überabzählbar. Sie lassen sich nicht als Bruch schreiben. Worin aber unterscheiden sie sich in ihrer Mächtigkeit? Pi ist im Vergleich zu Wurzel aus 2 transzendent, weil eben die Nachkommastelle von Pi keinen algebraischen Anteil wie die Wurzel aus 2 hat! Daher kann es keine eindeutige Zuordnung zwischen beiden irrationalen Zahlen geben. Obwohl also beide irrational sind, sind sie dennoch nicht gleichmächtig. Pi ist folglich unendlich mächtiger als die Wurzel aus 2! Es gibt aber noch einen zweiten wesentlichen Unterschied zwischen den beiden irrat. Zahlen: Wurzel aus 2 hat eine regelmäßige Kettenbruchdarstellung während pi absolut keine hat. Die Nachkommastelle von Pi kommt deshalb nicht zur Ruhe. Sie gehört einer höheren Mächtigkeit an. Mein Tipp: Pi ist die Königin im gigantischen Reich transzendenter irrationaler Zahlen und mindestens im Aleph 2-Bereich angesiedelt.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: cantors kontinuum-hypothese
Zitat:
Original von Harry Klopfer
Meine Frage:
Was nützt uns die von Cantor unbewiesene Gleichung 2^unendlich = Unendlich 1 = c (Kardinalzahl des Kontinuums)?


Nachfrage: Was meinst du hier mit „nutzen“? Für welche Theoreme diese Eigenschaft konkret angewandt wird?! Wenn ja, dann siehe Anwendungsbeispiele der Kontinuumshypothese.

Zuviel vorweg: Die Frage, ob es zwischen den Kardinalitäten von und weitere Kardinalitäten gibt, ist schon für sich interessant genug, als dass man sie gerne beantworten möchte. Siehe Bedeutung der Kontinuumshypothese.

Zitat:

Und: Durfte Cantor nur aufgrund einer Vermutung diese Kardinalzahl namens c einfach als Aleph1 bezeichnen?


Aleph 1 ist definiert als die nächstgrößte Kardinalzahl nach Aleph 0. Ihre Definition hat also nichts mit Cantors Hypothese zu tun. Bedenke: Obige Gleichung drückt nur kurz und knapp Cantors Vermutung aus, dass es zwischen den Kardinalitäten von und keine weiteren Kardinalitäten gibt. Sie ist aber keine von Cantor bewiesene Gleichung!

Es ist sogar so, dass obige Gleichung in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweisbar noch wiederlegbar ist (die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre bildet die Grundlage der modernen Mathematik). Dies wurde durch die Arbeiten von Gödel und später Cohen gezeigt. Es gibt also Modelle der Mathematik (oder besser gesagt Modelle von ZFC), in der Cantors Hypothese gilt und Modelle wo sie nicht gilt. Du kannst also für deine mathematische Theorie frei entscheiden, ob du Cantors Hypothese als Axiom hinzufügen möchtest oder nicht.

Zitat:

Meine Ideen:
Die Antwort der Frage 2 lautet meines Erachtens: Nein! Ein klares Nein!Wenn nämlich c = Aleph 1, dann hätte aleph null (die armseligste unendliche Mächtigkeit) keine Bedeutung mehr und wäre somit aus dem System Tau der unendlichen Kardinalzahlen ausgeschlossen.


Warum sollte dann Aleph 0 keine Kardinalzahl mehr sein?!

Zitat:

Wenn allerdings c nichts anderes als das erste Aleph namens aleph null wäre und aleph null hoch aleph null = c hoch c = Aleph 1, könnte c als Grundelement reibungslos in die geordnete Menge unendlicher Kardinalzahlen eingegliedert werden.


Die kleinste Kardinalzahl ist Null und die kleinste unendliche Kardinalzahl ist Aleph 0 (Mächtigkeit von ) – unabhängig von Cantors Hypothese.

Zitat:

Zu Hilberts erstem Problem mit der Frage, ob es eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die reellen Zahlen, folgende Antwort: Ein klares Ja! Beispiel Wurzel aus 2 und pi. Beide Zahlen sind irrational, d. h. auch überabzählbar.


Eine Zahl ist weder abzählbar noch überabzählbar! Mengen können abzählbar oder überabzählbar sein, aber keine Zahlen!

(Notiz an dieser Stelle: In der Mathematik von ZFC wird alles durch Mengen repräsentiert, auch Zahlen. Hierzu werden Zahlen durch Dedekindsche Schnitte dargestellt. Diese sind als Teilmengen von immer abzählbar. Jedoch hast dies nichts mit deiner Verwendung des Begriffs „abzählbar“ zu tun)
Harry Klopfer Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmengen
Meine Frage:
O.K. Einverstanden!
Aber warum soll 2^aleph null = Aleph 1 = c sein?

Meine Ideen:

2^3 = 8
2^-3 = 1/8 = 0,125
2^-unendlich = 1/2^unendlich = 1/unendlich = 0
2^unendlich = 1/0 = unendlich = 2x2x2... ad infinitum = aleph null = c

Demnach ist 2 hoch aleph null = aleph null = c (Kardinalzahl des Kontinuums)
Logisch oder wieder alles falsch?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage hattest du bereits gestellt, Stephan Kulla hat dir dort auch schon geantwortet.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »