Ellipse an zwei Tangenten

22.09.2014, 22:20

earnest_k

Ellipse an zwei Tangenten

Meine Frage:
Hallo zusammen
ich beisse mir gerade die Zähne aus, das kann doch nicht so schwierig sein!
Für eine Klick-Anwendung möchte ich berechnen wie sich ein Oval-elastischer Ring während dem Einfahren deformiert.
Ich kenne die Koordinaten des Punktes 1 und jene des Punktes 2. Bekannt sind ebenfalls
die Steigungen m1 und m2 und auch die Breite der Ellipse (Halbachse a).
Ich kenne den Lösungsweg der Tangentenformel mit der Steigung m etc,
dieser funktioniert aber nur, wenn ich den Mittelpunkt der Ellipse kenne und auch
deren Abmessungen.
Herzlichen Dank

Meine Ideen:
Ein Ansatz evtl. ob die Winkelhalbierende durch M geht? Dann könnte ich die Distanz zum Scheitelpunkt P1 ausrechnen und zurück auf b schliessen??
Oder ich kriege eine Formel für verschiedene Lösungen nach oben bei P1 und unten bei P2 in Abhängigkeit von b und setzte voraus das b oben und unten gleich sein muss.
Oder....ich mach dasselbe mit My, Mx ist und bleibt immer Null...

23.09.2014, 11:16

riwe

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RE: Ellipse an zwei Tangenten
verwirrt

wenn du 2 Ellipsenpunkte, die nicht "symmetrisch" liegen, die Steigungen der beiden Tangenten kennst UND eine Halbachse, dann kennst du meiner Meinung nach zu viel,
wenn die Ellipse nicht gedreht ist, ansonsten eher zu wenig.

kannst du noch einmal präzisieren, was was ist, z.b. Mx,My, bzw. was nun genau gegeben ist

23.09.2014, 23:14

earnest_k

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RE: Ellipse an zwei Tangenten
Hallo Werner

gegeben sind:
Halbachse a
Gerade g1 mit P1 und Steigung m1
Gerade g2 mit P2 und Steigung m2

Gesucht sind:
Halbachse b
Ellipsenmittelpunkt M

Ich suche den Ort und die Grösse der Ellipse
mit der festen Breite 2a welche mit der vertikalen
Halbachse auf y liegt und sowohl g1 als auch g2 tangential berührt.

Ich hoffe es ist nun ein wenig verständlicher.
Gruss
earnest_k

24.09.2014, 10:24

riwe

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RE: Ellipse an zwei Tangenten
wie schon oben steht:
es genügen bereits 1 Punkt und die zugehörige Tangente unglücklich

24.09.2014, 16:37

sneeper88

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Ich glaube er meint das bissel anders. P1 ist nicht der Berührungspunkt an der Ellipse (s.h. seinem Anhang). Die Gerade g1 geht durch den Punkt P1 und berührt die Ellipse in Pt1 (nach seiner Schreibweise). P1 und P2 liegen bei ihm auf der y-Achse.

Sehe ich das falsch earnest?

Und wenn du Pt1 und Pt2 nicht kennst fällt mir keine Lösung ein.

$\begin{eqnarray*} x^2/a^2+y^2/b^2=1 \end{eqnarray*}$ müsstest du lösen (Die Gleichung gilt falls M im Koordinatenursprung ist. Müsstest also eine Verschiebung machen und später zurückschieben). a kennst du aber sonst nix weiter oder?

24.09.2014, 17:25

riwe

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Zitat:

Original von sneeper88
Ich glaube er meint das bissel anders. P1 ist nicht der Berührungspunkt an der Ellipse (s.h. seinem Anhang). Die Gerade g1 geht durch den Punkt P1 und berührt die Ellipse in Pt1 (nach seiner Schreibweise). P1 und P2 liegen bei ihm auf der y-Achse.

Sehe ich das falsch earnest?

Und wenn du Pt1 und Pt2 nicht kennst fällt mir keine Lösung ein.

$\begin{eqnarray*} x^2/a^2+y^2/b^2=1 \end{eqnarray*}$ müsstest du lösen (Die Gleichung gilt falls M im Koordinatenursprung ist. Müsstest also eine Verschiebung machen und später zurückschieben). a kennst du aber sonst nix weiter oder?

gut gebrüllt Augenzwinkern

das läßt sich leicht lösen

Tipp: 2x Berührbedingung

siehe den titel des Bilderls

25.09.2014, 11:28

earnest_k

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

gut gebrüllt Augenzwinkern

das läßt sich leicht lösen

Tipp: 2x Berührbedingung

siehe den titel des Bilderls

Hallo
den Ellipsenmittelpunkt in den Koordinatenursprung zu setzen ist ein guter Ansatz, geht aber so meiner Ansicht nach nicht, weil ich nur den Abstand ZWISCHEN P1 und P2 kenne und nicht die Abstände vom Mittelpunkt zu P1 und P2.
Die Position des Mittelpunktes muss Teil der Lösung sein.
Wenn ich eine Formel hätte, die mir die Länge der Halbachse b in Abhängigkeit der Distanz von Mittelpunkt zu P1 resp. P2 beschreibt könnte ich zwei Randbedingungen definieren, nämlich: Distanz(M_P1)+Distanz(M_P2) =! Distanz(P1_P2) und
b aus M,a und Distanz(M_P1) =! b aus M,a und Distanz(M_P2)

earnest_k

25.09.2014, 13:10

riwe

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vielleicht hast du meinen Tipp übersehen Augenzwinkern

der Lösungsweg geht umgekehrt:
zuerst bestimmt man den Mittelpunkt und damit b

einen unbekannten Punkt M nach O zu verschieben, ist eher eine drollige Idee Augenzwinkern

25.09.2014, 19:08

earnest_k

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Die Frage lautet:
wie gross muss mein b sein, damit folgende Randbedingungen erfüllt sind:
Die Ellipse berührt g1
Die Ellipse berührt g2
Der Mittelpunkt liegt auf x=0

Ich kann zwei Gleichungen aufstellen in welchen ich Mx und My in Abhängigkeit von b erhalte.

Danach kann ich in der ersten Gleichung Mx=0 setzen und nach b auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen.

Wie die Gleichungen aber aussehen liegt momentan fern meiner Vorstellung.

Beste Grüsse

earnest_k

25.09.2014, 19:37

riwe

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oh Lord,
dann halt noch deutlicher. smile

immer vorausgesetzt, ich verstehe deine diversen Bilderl nun endlich richtig:
P1, M und P2 liegen auf der y-achse, so wie im Bilderl dargestellt.
dann gilt mit

$\begin{eqnarray*} P_1(0/d_1)\text{, }M(0/n)\text{, }P_2(0/d_2) \end{eqnarray*}$

folgende Berührbedingung für die beiden Tangenten mit deinen Bezeichnern:

$\begin{eqnarray*} (i)\quad{ }(d_i-n)^2=a^2\cdot m_i^2+b^2\quad{ } i=1,2 \end{eqnarray*}$

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt die gesuchte y-Koordinate des Ellipsenmittelpunktes, b bekommt man dann einfach durch Einsetzen in (1) oder (2)
ok verwirrt

26.09.2014, 08:45

earnest_k

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Guten morgen Werner

herzlichen Dank, doch was meinst Du mit Subtraktion der beiden Gleichungen?
Ich kann zwar beide Gleichungen voneinander subtrahieren, dennoch bleiben 3 Unbekannte.

$\begin{eqnarray*} (1.1)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2=a^2m_{1}^2+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2.1)\quad d_{2}^2-2d_{2}n+n^2=a^2m_{2}^2+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2.2)\quad d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2=b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3.1)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n-n^2+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$

dann kann ich noch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ enfernen, aber dann??

$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$

Gruss

earnest_k

26.09.2014, 09:39

riwe

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Zitat:

Original von earnest_k
Guten morgen Werner

herzlichen Dank, doch was meinst Du mit Subtraktion der beiden Gleichungen?
Ich kann zwar beide Gleichungen voneinander subtrahieren, dennoch bleiben 3 Unbekannte.

$\begin{eqnarray*} (1.1)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2=a^2m_{1}^2+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2.1)\quad d_{2}^2-2d_{2}n+n^2=a^2m_{2}^2+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2.2)\quad d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2=b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3.1)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n-n^2+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$

dann kann ich noch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ enfernen, aber dann??

$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$

Gruss

earnest_k

Zitat:

Original von earnest_k
Hallo Werner

gegeben sind:
Halbachse a
Gerade g1 mit P1 und Steigung m1
Gerade g2 mit P2 und Steigung m2

Gesucht sind:
Halbachse b
Ellipsenmittelpunkt M

earnest_k

gegeben sind P1(0/d1) , P2(0/d2), die beiden Steigungen der Tangenten m1 und m2 sowie die Halbachse a.

also bleibt in der letzten Gleichung doch nur

EINE EINZIGE Unbekannte n

edit: und sollten die Punkte $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ nicht auf der y-achse liegen, kannst du ja die zugörigen $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ problemlos bestimmen.
Resüme: die Rechnung bleibt genauso "watscheneinfach"

26.09.2014, 14:03

earnest_k

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Hallo werner

wie schön, ich hab's doch noch begriffen, und es funktioniert perfekt!

$\begin{eqnarray*} n= \frac{a^2m_{1}^2-a^2m_{2}^2+d_{2}^2-d_{1}^2}{2d_{2}+2d_{1}} \end{eqnarray*}$

dann n einsetzen in obiger Formel (1.2) oder (2.2) fertig!

Herzlichen Dank

earnest_k

26.09.2014, 14:41

earnest_k

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Zitat:

Original von earnest_k
Hallo werner

wie schön, ich hab's doch noch begriffen, und es funktioniert perfekt!

$\begin{eqnarray*} n= \frac{a^2m_{1}^2-a^2m_{2}^2+d_{2}^2-d_{1}^2}{2d_{2}+2d_{1}} \end{eqnarray*}$

dann n einsetzen in obiger Formel (1.2) oder (2.2) fertig!

Herzlichen Dank

earnest_k

Falls die Gleichung keine Schreibfehler enthält...unter dem Bruchstrich muss eine Subtraktion stehen.

$\begin{eqnarray*} n= \frac{a^2m_{1}^2-a^2m_{2}^2+d_{2}^2-d_{1}^2}{2d_{2}-2d_{1}} \end{eqnarray*}$

26.09.2014, 14:52

riwe

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Zitat:

Original von earnest_k

Zitat:

man kann´s eventuell etwas schöner malen

$\begin{eqnarray*} n= \frac{a^2(m_{1}^2-m_{2}^2)+d_{2}^2-d_{1}^2}{2(d_{2}-d_{1})} \end{eqnarray*}$

01.10.2014, 09:54

earnest_k

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von earnest_k

Zitat:

man kann´s eventuell etwas schöner malen

$\begin{eqnarray*} n= \frac{a^2(m_{1}^2-m_{2}^2)+d_{2}^2-d_{1}^2}{2(d_{2}-d_{1})} \end{eqnarray*}$

ZUSAMMENFASSUNG

Gegeben sind:
$\begin{eqnarray*} P1 \end{eqnarray*}$ : Schnittpunkt der Geraden $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ mit der y-Achse $\begin{eqnarray*} (0,d_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ : Steigung der Geraden $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P2 \end{eqnarray*}$ : Schnittpunkt der Geraden $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ mit der y-Achse $\begin{eqnarray*} (0,d_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ : Steigung der Geraden $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ : Halbachse der Ellipse in x-Richtung (konstante Breite)

Gesucht werden:
$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ : Halbachse der Ellipse in y-Richtung
$\begin{eqnarray*} Me (0,n) \end{eqnarray*}$ : Mittelpunkt der Ellipse

Randbedingungen (gemäss Skizze):
1. Ellipse berührt Gerade $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$
2. Ellipse berührt Gerade $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$
3. Die Ellipsenachsen sind parallel zu den Koordinatenachsen
4. Der Ellipsenmittelpunkt befindet sich auf der y-Achse

Gleichungen:
(Original von riwe)
für
$\begin{eqnarray*} P_1(0/d_1)\text{, }M(0/n)\text{, }P_2(0/d_2) \end{eqnarray*}$
gelten folgende Berührbedingungen
$\begin{eqnarray*} (i)\quad{ }(d_i-n)^2=a^2\cdot m_i^2+b^2\quad{ } i=1,2 \end{eqnarray*}$
daraus ergeben sich zwei Gleichungen -> nach $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst (siehe oben):
$\begin{eqnarray*} (1.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2.2)\quad d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2=b^2 \end{eqnarray*}$
diese kann man gleichsetzen
$\begin{eqnarray*} (3.1)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2=d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2 \end{eqnarray*}$
und nach Null umformen
$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n-n^2+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$
dann fällt noch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ weg
$\begin{eqnarray*} (3.2)\quad d_{1}^2-2d_{1}n-a^2m_{1}^2-d_{2}^2+2d_{2}n+a^2m_{2}^2=0 \end{eqnarray*}$
und nach n Auflösen
$\begin{eqnarray*} (3.3)\quad n= \frac{a^2m_{1}^2-a^2m_{2}^2+d_{2}^2-d_{1}^2}{2d_{2}-2d_{1}} \end{eqnarray*}$ [/quote]

In einem letzten Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in die Gleichung 1.2 oder 2.2 einsetzen -> Am Beispiel Gleichung 1.2:

$\begin{eqnarray*} (1.2)\quad b=\sqrt{d_{1}^2-2d_{1}n+n^2-a^2m_{1}^2} \end{eqnarray*}$

Somit kenne ich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und kann die Ellipse in der richtigen Grösse platzieren.

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