Log-likelihood

23.09.2014, 00:13

Kstin

Log-likelihood

Hallo liebes Matheboard,
nachdem ich hier viel mitgelesen habe, hab ich jetzt ein Problem, dass ich nicht lösen kann. Die Statistikklausur steht bevor & ich hab noch meine Probleme mit der Log-Likelihood.
Hier die Aufgabe:
Die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X sei

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^b (b+1), & 0<x\leq 1 \\ 0, & \text{sonst. }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} b\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Schätzfunktion für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ basierend auf einer Stichprobe
$\begin{eqnarray*} X1, . . . ,Xn \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Xi \end{eqnarray*}$ identisch und unabhängig verteilt sind. Benutzen Sie dafür die Maximum-Likelihood-Methode.

a) Geben Sie die Log-Likelihoodfunktion an, die möglichst weit vereinfacht worden ist.
b) Geben Sie die Bedingung an, aus der Sie die Schätzfunktion für b lösen können.
c)Geben Sie die Schätzfunktion für b an.

Ich weiß, dass für die ML-Methode gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,...,x_n;q)=\prod_{i=1}^n {f_X}_i(x_i;q) \end{eqnarray*}$ .

Ich kann die beiden Sachen aber irgendwie nicht zusammenführen. Könntet Ihr mich bitte durch die Aufgabe begleiten?

23.09.2014, 09:50

HAL 9000

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Parameter $\begin{align*} q \end{align*}$ ist hier in deinem Beispiel das $\begin{align*} b \end{align*}$ . Es ist also

$\begin{align*} f_{X_i}(x_i;b) = x_i^b(b+1) \end{align*}$ für $\begin{align*} 0<x_i\leq 1 \end{align*}$ ,

und dann einfach in die Likelihoodfunktion einsetzen und den Gesamtausdruck logarithmieren.

P.S.: Es ist ein wenig unglücklich, dass du sowohl die Dichtefunktion als auch die Likelihoodfunktion beide $\begin{align*} f \end{align*}$ nennst - das öffnet Verwechslungen Tür und Tor. Nenn besser die Likelihoodfunktion $\begin{align*} L(x_1,x_2,\ldots,x_n;b) \end{align*}$ .

23.09.2014, 14:55

Kstin

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Ehrlich gesagt scheiter ich schon bei der Aufstellung der Funktion.

23.09.2014, 15:27

HAL 9000

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Verstehst du das Produktsymbol $\begin{align*} \prod_{i=1}^n \end{align*}$ nicht? Oder wo sonst ist nach meinen Vorbemerkungen noch das Problem beim bloßen Einsetzen von $\begin{align*} f_{X_i}(x_i;b) = x_i^b(b+1) \end{align*}$ in

$\begin{align*} f(x_1,x_2,\ldots,x_n;b) = \prod_{i=1}^n {f_{X_i}}(x_i;b) \end{align*}$ ? verwirrt

23.09.2014, 15:35

Kstin

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Das Produktsymbol besagt doch, dass ich die einzelnen Werte für $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ beginnend ab 1 bis n miteinander multipliziere.

Wär das $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n x^b (b+1) \end{eqnarray*}$ ?

Mich irritiert die Schreibweise, denn wenn man sonst eine Formel einsetzt heits es
$\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , hier aber $\begin{eqnarray*} fx_i \end{eqnarray*}$ .

23.09.2014, 15:40

HAL 9000

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Das Konzept der Funktion ist dir bekannt? Wird eigentlich irgendwann in der Schule gelehrt...

Wenn z.B. $\begin{align*} g(x)=x^2 \end{align*}$ ist, und man setzt das Argument 2 ein, dann ist $\begin{align*} g(2)=2^2=4 \end{align*}$ . Genauso kann man aber auch $\begin{align*} x_i \end{align*}$ einsetzen, dann ist $\begin{align*} g(x_i)=x_i^2 \end{align*}$ .

@mods

Ab in die Schulmathematik, bei den grundlegenden Verständnisschwierigkeiten.

23.09.2014, 15:55

Kstin

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Das Konzept verstehe ich schon.

23.09.2014, 17:01

Huggy

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Zitat:

Original von Kstin
Das Konzept verstehe ich schon.

Offenbar nicht! Denn in deiner Likelihood

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L=\prod_{i=1}^n x^b (b+1) \end{eqnarray*}$

tauchen die beobachteten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ja gar nicht auf. Bevor HAL noch einen Schlaganfall bekommt, löse ich deinen Knoten. Bei L sind die Dichten der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ an den beobachteten Stellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren. Die Dichte von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f_{X_1}(x_1)=x_1^b(b+1) \end{eqnarray*}$

Die Dichte von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} f_{X_2}(x_2)=x_2^b(b+1) \end{eqnarray*}$

usw. Und jetzt werden all diese Dichtewerte multipliziert. Was ergibt sich also für L?

23.09.2014, 17:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Bevor HAL noch einen Schlaganfall bekommt

Na ganz so empfindlich bin ich nicht, sonst hätte ich hier im Board nicht bis jetzt überlebt. Aber es ist meiner Gesundheit sicher zuträglich, dass du erfreulicherweise nun hier übernommen hast. Freude

23.09.2014, 18:24

Kstin

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Ich glaub, jetzt weiß ich was du meinst.
$\begin{eqnarray*} L=\prod_{i=1}^n x_i^b(b+1) \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} L=(x_1^b(b+1))*(x_2^b(b+1))*...*(x_n^b(b+1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(b+1)+ \sum_{i=1}^n x_i^b \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2014, 18:42

Huggy

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Wie kommst du von dem Produkt auf die Summe?

Vorschlag:
Fasse in dem Produkt alle Faktoren $\begin{eqnarray*} (b+1) \end{eqnarray*}$ zusammen?
Und fasse alle Faktoren $\begin{eqnarray*} x_i^b \end{eqnarray*}$ geeignet zusammen.

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