Abzählbarkeit von unendlichen Mengen

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Harry Klopfer Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit von unendlichen Mengen
Meine Frage:
Kann es eine überabzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen geben, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die transzendenten Zahlen?

Meine Ideen:
Die Eulerzahl e und pi sind transzendent. Sie unterscheiden sich dadurch, dass e im Vergleich zu pi noch Anzeichen von Kettenbruchdarstellung hat. Pi ist somit transzendenter als e und mächtiger! Gleiche Mächtigkeit heißt ja: Die eindeutige Zuordnung zwischen unendlichen Mengen. Diese Zuordnung fehlt offensichtlich zwischen pi und e. Daraus folgt, dass es eine überabzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen geben kann, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die transzendenten Zahlen selbst. Pi ist mächtiger als e. Und e ist mächtiger als alle anderen irrationalen Zahlen mit algebraischen Anteil (z.B. die Wurzel aus 2). Cantor konnte nur vermuten, dass alle irrationalen Zahlen gleichmächtig seien. Dies trifft aus den o.g. Gründen nicht zu.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wann sind denn zwei Zahlen gleichmächtig? Du sagst doch schon:
Zitat:
Mächtigkeit heißt ja: Die eindeutige Zuordnung zwischen unendlichen Mengen.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Kann es eine überabzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen geben, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die transzendenten Zahlen?

Die Aussage ist gleichwertig zur Kontinuumshypothese. Also such dir die Antwort die dir lieber ist aus.

Zitat:
Sie unterscheiden sich dadurch, dass e im Vergleich zu pi noch Anzeichen von Kettenbruchdarstellung hat.

Wie bitte? Beide haben eine Kettenbruchdarstellung, wie jede reelle Zahl.

Zitat:
Pi ist somit transzendenter als e und mächtiger!

Welches Maß für "Abzählbarkeit" und "Macht"(?) verwendest du?

Zitat:
Gleiche Mächtigkeit heißt ja: Die eindeutige Zuordnung zwischen unendlichen Menge

Nein. Auch endliche Mengen können gleiche Mächtigkeit haben.

Zitat:
Diese Zuordnung fehlt offensichtlich zwischen pi und e

Genauso wie meinem Fahrrad ein Warp-Antrieb fehlt.
In welchem Sinne sollen denn die beiden zahlen unendliche Mengen sein?
Erst dann kann man evtl. davon sprechen, dass etwas nicht geht. Offensichtliches seh ich hier nichts.


Zitat:
Daraus folgt, dass es eine überabzählbare Teilmenge der transzendenten Zahlen geben kann, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die transzendenten Zahlen selbst.

Ja, ex falso quodlibet.


Zitat:
Und e ist mächtiger als alle anderen irrationalen Zahlen mit algebraischen Anteil (z.B. die Wurzel aus 2).

Auch hier wieder: was soll denn die "macht"(?) oder ist es "Mächtigkeit" einer Zahl sein?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbarkeit von unendlichen Mengen
@Harry Klopfer: Mir scheint, du hast eine falsche Vorstellung von Mächtigkeit. Nur Mengen von Zahlen kannst du eine Kardinalität, also eine Mächtigkeit, zuordnen. Zahlen aber nicht!

Mir scheint auch, dass du eine falsche Vorstellung von Zahlen hast. Jede reelle Zahl ist ein Punkt auf der Zahlengeraden und damit ein einzelnes Objekt. Ob ihre Kettenbruch- oder Dezimalbruchdarstellung endlich ist oder nicht, ob in ihr Regelmäßigkeiten erkennbar sind oder nicht, ändert daran nichts. Begriffe wie „transzendentere Zahlen“ oder „Mächtigkeit von Zahlen“ aufgrund ihrer Ketten- oder Dezimalbruchdarstellung gibt es nicht.
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