Normäquivalenz in periodischem Sobolevraum

23.09.2014, 15:10	Borsk	Auf diesen Beitrag antworten »
Normäquivalenz in periodischem Sobolevraum Hey, ich bin gerade am Lesen eines Artikels und ich bin mal wieder in den 'Therefore it is easy to see that..'-Abgrund gefallen. Ich hänge die relevanten Seiten des Artikels mal an und unterstreiche den unklaren Teil. Meine Funktionalanalysis ist ein wenig eingerostet, d.h. es kann sein, dass ich ganz dumme Fehler mache . Was ich versucht habe (ich nutze (x1,x2) statt (x,y) und eine etwas andere Darstellung der Fourierreihe mit j und k statt dem zweidimensionalen k im angehängten Text, außerdem eine allgemeine Periodenlänge l statt pi. ich hoffe, dass das nicht verwirrt) $\begin{eqnarray} <br /> \\| f \\|_{P,m}^2 =<br /> \sum_{\|\beta\| \le m} \int_{P} \lvert \frac{1}{2l} \sum_{j,k \in (\pi/l)\mathbb{Z}} a_{j,k}i^{\|\beta\|} j^{\beta_1}k^{\beta_2} e^{i jx_1} e^{i kx_2} \rvert^2 \; \mathrm dx_1 \;\mathrm dx_2 \\<br /> = \mathrm{const.} \cdot \sum_{\|\beta\| \le m} \sum_{j,k \in (\pi/l)\mathbb{Z}} \int_{P} \lvert a_{j,k} j^{\beta_1}k^{\beta_2} e^{ijx_1} e^{i kx_2} \rvert^2 \; \mathrm dx_1 \;\mathrm dx_2 \notag\\<br /> = \mathrm{const.} \cdot \sum_{\|\beta\| \le m} \sum_{j,k \in (\pi/l)\mathbb{Z}} \int_{P} \|a_{j,k}\|^2 \|j\|^{2\beta_1}\|k\|^{2\beta_2}\lvert e^{2i jx_1} e^{2i kx_2} \rvert \; \mathrm dx_1 \;\mathrm dx_2 \notag\\<br /> = \mathrm{const.} \cdot \sum_{j,k \in (\pi/l)\mathbb{Z}} \sum_{\|\beta\| \le m} \|a_{j,k}\|^2 \|j\|^{2\beta_1}\|k\|^{2\beta_2} \notag\\<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe hierbei im ersten Schritt des Satz von Pythagoras genutzt. Ich nehme an, dass man jetzt vielleicht mit dem binomischen Lehrsatz da ranmuss, bin mir aber nicht sicher wie, und die Multiindexschreibweise ist auch nicht gerade mein bester Freund.
27.09.2014, 13:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Man verwendet hier nur fuer f, und alle seine Ableitungen, den Satz von Parseval. Reicht das als Hinweis?

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