Zahlenstrahl

24.09.2014, 10:06

Harry Klopfer

Zahlenstrahl

Meine Frage:
Auf dem Zahlenstrahl von sagen wir 1 - 10 cm tummeln sich unendlich viele rationale, abzählbare Zahlen. Angenommen dieser Zahlenstrahl würde auf die Länge von 1/unendlich cm schrumpfen. Wie viele abzählbare und überabzählbare (einschließlich transzendenter) Zahlen befänden sich noch auf diesem Zahlenstrahl?

Meine Ideen:
Meine Antwort: Es befindet sich noch eine rationale und unendlich viele irrationale Zahlen auf diesem zu annähernd null cm geschrumpften Zahlenstrahl.... Schöne transfinite Arithmetik!

24.09.2014, 10:11

bijektion

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Ist $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,a+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ unendlich viele rationale und irrationale Zahlen.

Zitat:

Wie viele abzählbare und überabzählbare (einschließlich transzendenter) Zahlen befänden sich noch auf diesem Zahlenstrahl?

Im übrigen: Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{A} \end{eqnarray*}$ der algebraischen Zahlen ist abzählbar, d.h. überabzählbar impliziert hier bereits, dass die transzendenten Zahlen inbegriffen sind.

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