Ungleichung n^2> n+1 richtig bewiesen?

24.09.2014, 10:14

antrax

Ungleichung n^2> n+1 richtig bewiesen?

Hallo zusammen!!!

vllt. könnte mir jemand bitte helfen.

Ich fasse mich aber kurz.

Für $\begin{eqnarray*} n^{2} > n+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$
IA. gilt für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$
IV. $\begin{eqnarray*} n^{2} > n+1 \end{eqnarray*}$
IS. $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}>n+2 \end{eqnarray*}$

Mein Versuch!
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n+1+2n+1=3n+2>2n+2>n+2 \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt fällt es mir schwer bei Ungleichungen immer zu erkennen, wie der nächste Schritt nach einem "<" oder ">" ist. Ich weiss nie, was ich dabei weglassen kann und was nicht, wenn ich weiter nach rechts in der Ungleichung gehe oder weiter nach links.

Könnte man diesen Beweis nicht vllt. so schreiben?
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n+1+2n+1=n+(2n+1)>2(2n+1)>n+2 \end{eqnarray*}$
Es ist mir einfach nicht klar welcher Beweis überhaupt und ob richitg ist. verwirrt

Oder geht auch
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n+1+2n+1=n+(2n+1)>2(n+1)>n+2 \end{eqnarray*}$ ??
aber hier glaube ich nicht, dass das richtig ist...hmmm

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!! Wink

Gruß Chris

24.09.2014, 10:26

klarsoweit

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RE: Ungleichung n^2> n+1 richtig bewiesen?
Der 1. Versuch ist richtig. Dieser Beweis

Zitat:

Original von antrax
Könnte man diesen Beweis nicht vllt. so schreiben?
Beweis:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n+1+2n+1=n+(2n+1)>2(2n+1)>n+2 \end{eqnarray*}$

ist an dieser Stelle falsch: n+(2n+1) > 2(2n+1)

Eine einfache Möglichkeit sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2+2n+1 > n+1+2n+1 \end{eqnarray*}$
An dieser Stelle kannst du rechts die 2n weglassen. Dann wird der Term kleiner und es ist also $\begin{eqnarray*} n+1+2n+1 > n+1+1 = n+2 \end{eqnarray*}$ , womit man schon am Ziel ist. smile

24.09.2014, 10:29

Captain Kirk

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Hallo,

wieso überhaupt eine Induktion?
Das ist hier viel zu umständlich:
$\begin{eqnarray*} n^2=n \cdot n \geq n\cdot 2=n+n\ge n+1 \end{eqnarray*}$

24.09.2014, 10:45

antrax

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RE: Ungleichung n^2> n+1 richtig bewiesen?
Hallo zusammen,

danke für eure schnelle Antwort Freude

Es freut mich, dass eine LSg. wenigstens richtig ist smile

Zitat:

von klarsoweit
ist an dieser Stelle falsch: n+(2n+1) > 2(2n+1)

aber warum, denn n>2, wenn (2n+1) wegfällt? oder sehe ich da was falsch. Darf ich nicht einfach eine beliebige Zahl einfügen??

Zitat:

von klarsoweit
An dieser Stelle kannst du rechts die 2n weglassen. Dann wird der Term kleiner und es ist also $\begin{eqnarray*} n+1+2n+1 > n+1+1 = n+2 \end{eqnarray*}$ , womit man

Ich hatte es auch am Anfang so geschrieben (n+1+1). Da haben wir aber es auch was ich meine, warum einfach weglassen?? Wird die Lösung falsch, wenn ich 2n drin lasse?

Zitat:

von Captain Kirk
wieso überhaupt eine Induktion?

Das war eine Aufgabenstellung. Es sollte per Induktion bewiesen werden.

Danke!!! Freude

24.09.2014, 11:21

klarsoweit

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RE: Ungleichung n^2> n+1 richtig bewiesen?

Zitat:

Original von antrax

Zitat:

von klarsoweit
ist an dieser Stelle falsch: n+(2n+1) > 2(2n+1)

aber warum, denn n>2, wenn (2n+1) wegfällt? oder sehe ich da was falsch.

Es kommt sehr genau darauf an, was du machst.
In n+(2n+1) kannst du das "2n+1" weglassen, dann ist n+(2n+1) > n . Das ist allerdings nicht das gewünschte Ergebnis.
Oder du nutzt, daß n > 2 ist, woraus dann n+(2n+1) > 2 + (2n+1) entsteht.
In keinem Fall kommt man aber auf n+(2n+1) > 2(2n+1) .

Zitat:

Original von antrax
Darf ich nicht einfach eine beliebige Zahl einfügen??

Was heißt das denn konkret? Wo willst du was einfügen?

Zitat:

Original von antrax

Zitat:

von klarsoweit
An dieser Stelle kannst du rechts die 2n weglassen. Dann wird der Term kleiner und es ist also $\begin{eqnarray*} n+1+2n+1 > n+1+1 = n+2 \end{eqnarray*}$ , womit man

Ich hatte es auch am Anfang so geschrieben (n+1+1). Da haben wir aber es auch was ich meine, warum einfach weglassen?? Wird die Lösung falsch, wenn ich 2n drin lasse?

Die Lösung wird nicht falsch, aber du willst doch von $\begin{eqnarray*} n+1+2n+1 \end{eqnarray*}$ auf n+2 kommen. Nun ist 2n > 0, so daß $\begin{eqnarray*} n+1+2n+1 \end{eqnarray*}$ kleiner wird, wenn man 2n wegläßt (oder genauer gesagt, dafür eine Null schreibt). Und dann ist man ja schon am Ziel. smile

24.09.2014, 11:47

antrax

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Hallo klarsoweit!

Zitat:

klarsoweit
Oder du nutzt, daß n > 2 ist, woraus dann n+(2n+1) > 2 + (2n+1) entsteht. In keinem Fall kommt man aber auf n+(2n+1) > 2(2n+1) .

Jetzt erscheint es mir logisch Hammer

, danke!!

Zitat:

klarsoweit
Was heißt das denn konkret? Wo willst du was einfügen?

Hat sich schon erledigt... danke

Danke für deine schnellen Antworten. Ich wollte gleich einen neuen Thread für eine andere Ungleichung, die ich beweisen muss, öffnen. Vllt könntest du mir auch dort bitte helfen smile

Danke!!

Gruß Chris

24.09.2014, 11:53

klarsoweit

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Nur zu. Außer mir sind ja auch noch andere Helfer im Board unterwegs. Augenzwinkern

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